星座 3 (Constellation 3)

G 星座 3 (Constellation 3)

总述：做法很多，一道练习各种套路的有价值的题。

对横坐标考虑一个区间 $[l,r]$，若该区间上建筑高度的最大值为 $x$，则该区间内 $>x$ 的星星数量不能超过 $1$ 个。

对建筑高度建出 笛卡尔树，于是每个节点对应一个区间以及区间高度最大值（即当前子树根节点对应的高度），这样我们只需考察 $O(n)$ 个区间。

不妨统计最大能保留下来的星星价值，用总价值减去它得到答案。

Solution 1

线段树合并 / 启发式合并。

Solution 2

把笛卡尔树当成一棵普通的树形结构考虑，保留一个坐标为 $(x,y)$ 的星星相当于在树上覆盖一条对应权值的祖孙链。

这条链的两端点分别为 $x$ 位置对应的节点 $v$ 和一个祖先节点 $u$，满足 $h_u<y$ 且 $h_{f{a}_u}\ge y$。$u$ 可以倍增求解。

因此问题转化为：有若干祖孙链，选择一些使它们两两不交，求选择的链权值和最大值。

Solution 3

直接贪心考虑如何保留最大星星价值。

将星星按纵坐标从小到大排序。

若当前星星不会与已选星星发生冲突，直接选上。

否则考虑是放弃当前星星，还是选择当前星星而放弃与其有冲突的星星。

记与当前星星有冲突的星星的权值和为 $w$，当前星星权值为 $c$，若 $w\ge c$，则一定放弃当前星星更优。

否则，就暂时放弃之前的星星，之后做反悔贪心。

对有冲突的横坐标范围可以用两个并查集维护（一个向左一个向右），区间修改和查询有冲突的星星的权值可以用树状数组等进行维护。