CF575B Bribes

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洛谷：CF575B Bribes

Codeforces：CF575B Bribes

Solution

对 “有效边” 统计被反向经过的数量然后等比数列求和。

考虑一条路径 $s\to t$ 对 "有效边 $u\to v$ 是否有贡献。

• $u\to v$ 自叶向根：$s$ 不在 $u$ 子树内，$t$ 在 $u$ 子树内。
• $u\to v$ 自根向叶：$s$ 在 $u$ 子树内，$t$ 不在 $u$ 子树内。

判断在不在子树内可以用 dfs 序。

对每一条 “有效边”，都需要求出给定序列中满足条件的 $(s,t)$ 的数量。

考虑枚举 “有效边”，此时子树区间固定。

考虑将给定序列分成若干有向线段（线段端点位置是 dfs 序）。

具体地：若 $df{n}_u<df{n}_v$，自根向叶；否则自叶向根。

把正序线段称作一类线段，逆序线段称作二类线段，分别计算。

分类讨论哪些线段会对当前询问产生贡献：

• 自叶向根：询问区间为 $u$ 子树对应的区间，
  • 对于一类线段：左端点在区间左侧，右端点在区间内。
  • 对于二类线段：左端点在区间内，右端点在区间右侧。
• 自根向叶：询问区间为 $v$ 子树对应的区间，
  • 对于一类线段：左端点在区间内，右端点在区间右侧。
  • 对于二类线段：左端点在区间左侧，右端点在区间内。

需要预处理：

• 以点 $x$ 为左端点向右延伸的线段数量 $l{c}_x$
• 以点 $x$ 为右端点向左延伸的线段数量 $r{c}_x$
• 对上面两个量求前缀和数组 $lsu{m}_x,rsu{m}_x$

左端点在区间左侧，右端点在区间内的线段数量可以转为 $rsu{m}_r-rsu{m}_{l-1}-cnt$。其中 $l,r$ 是区间端点，$cnt$ 是完全被包含在区间内的线段数量，而 $cnt$ 可以用二维数点求出来。

瓶颈在求 $cnt$，单 $\log$。

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