Problem

在一个空间直角坐标系中移动，每步可以沿着坐标轴正/负方向移动一个单位的长度。

给定 $N, X, Y, Z$ ，求：

恰好 $N$ 步，从点 $(0, 0, 0)$ 走到点 $(X, Y, Z)$ 的方案数。

答案对 $998244353$ 取模。 $N, X, Y, Z \leq 10^{7}$ 。

Solution

先把答案为 $0$ 判掉。

记 $w = \frac{n - x - y - z}{2}$ 。

答案为：

\sum_{a_{1} + a_{2} + a_{3} = w} (\binom{x + 2 a_{1}}{a_{1}}) (\binom{y + 2 a_{2}}{a_{2}}) (\binom{z + 2 a_{3}}{a_{3}}) (\binom{n}{x + 2 a_{1}}) (\binom{n - x - 2 a_{1}}{y + 2 a_{2}})

然后化简。拆开消项以组成新的二项式系数。

\begin{aligned} a n s & = \sum_{a_{1} + a_{2} + a_{3} = w} (\binom{x + 2 a_{1}}{a_{1}}) (\binom{y + 2 a_{2}}{a_{2}}) (\binom{z + 2 a_{3}}{a_{3}}) (\binom{n}{x + 2 a_{1}}) (\binom{n - x - 2 a_{1}}{y + 2 a_{2}}) \\ = \sum_{a_{1} + a_{2} = 0}^{w} (\binom{x + 2 a_{1}}{a_{1}}) (\binom{y + 2 a_{2}}{a_{2}}) (\binom{z + 2 (w - a_{1} - a_{2})}{w - a_{1} - a_{2}}) (\binom{n}{x + 2 a_{1}}) (\binom{n - x - 2 a_{1}}{y + 2 a_{2}}) \\ = \sum_{S = 0}^{w} \sum_{a_{1} = 0}^{S} (\binom{x + 2 a_{1}}{a_{1}}) (\binom{y + 2 S - 2 a_{1}}{S - a_{1}}) (\binom{z + 2 w - 2 S}{w - S}) (\binom{n}{x + 2 a_{1}}) (\binom{n - x - 2 a_{1}}{y + 2 S - 2 a_{1}}) \\ = \sum_{S = 0}^{w} (\binom{z + 2 w - 2 S}{w - S}) \sum_{a_{1} = 0}^{S} (\binom{x + 2 a_{1}}{a_{1}}) (\binom{y + 2 S - 2 a_{1}}{S - a_{1}}) (\binom{n}{x + 2 a_{1}}) (\binom{n - x - 2 a_{1}}{y + 2 S - 2 a_{1}}) \end{aligned}

记 $W = \sum_{a_{1} = 0}^{S} (\binom{x + 2 a_{1}}{a_{1}}) (\binom{y + 2 S - 2 a_{1}}{S - a_{1}}) (\binom{n}{x + 2 a_{1}}) (\binom{n - x - 2 a_{1}}{y + 2 S - 2 a_{1}})$ 。

\begin{aligned} W & = \sum_{a_{1} = 0}^{S} (\binom{x + 2 a_{1}}{a_{1}}) (\binom{y + 2 S - 2 a_{1}}{S - a_{1}}) (\binom{n}{x + 2 a_{1}}) (\binom{n - x - 2 a_{1}}{y + 2 S - 2 a_{1}}) \\ = \sum_{a_{1} = 0}^{S} \frac{(x + 2 a_{1})!}{a_{1}! (x + a_{1})!} \frac{(y + 2 S - 2 a_{1})!}{(S - a_{1})! (y + S - a_{1})!} \frac{n!}{(x + 2 a_{1})! (n - x - 2 a_{1})!} \frac{(n - x - 2 a_{1})!}{(y + 2 S - 2 a_{1})! (n - x - y - 2 S)!} \\ = \sum_{a_{1} = 0}^{S} \frac{n!}{a_{1}! (x + a_{1})! (S - a_{1})! (y + S - a_{1})! (n - x - y - 2 S)!} \\ = n! \times \frac{1}{S!} \times \frac{1}{(x + y + S)!} \times \frac{1}{(n - x - y - 2 S)!} \sum_{a_{1} = 0}^{S} \frac{S!}{a_{1}! (S - a_{1})!} \frac{(x + y + S)!}{(x + a_{1})! (y + S - a_{1})!} \\ = \frac{n!}{S! (x + y + S)! (n - x - y - 2 S)!} \sum_{a_{1} = 0}^{S} (\binom{S}{a_{1}}) (\binom{x + y + S}{y + S - a_{1}}) \\ = \frac{n!}{S! (x + y + S)! (n - x - y - 2 S)!} (\binom{x + y + 2 S}{y + S}) \end{aligned}

于是可以枚举 $S$ 。

code ABC240G Teleporting Takahashi

posted @ 2023-02-20 12:25 Schucking_Sattin 阅读(16) 评论(0) 编辑收藏举报

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