ARC114C Sequence Scores

ARC114C Sequence Scores（2056）

洛谷：ARC114C Sequence Scores

Atcoder：ARC114C Sequence Scores

Problem

给定一个由 $1-M$ 的整数组成的，长为 $N$ 的序列 $A$。

对于 $A$ 定义 $f(A)$:

• 给一个长为 $N$ 的序列 $X$，初始所有元素都为$0$，$f(A)$ 为: 重复以下操作，以使 $X$ 等于 $A$ 的最小操作次数。

  • 指定 $1\le l\le r\le N$ 和 $1\le v\le M$。 对于 $l\le i\le r$，将 $x_i$ 替换为 $max(x_i,v)$ 。

$A$ 共有 $M^N$ 个可能的序列。 求所有可得序列的 $f(A)$ 之和除以 $9982444353$ 的余数。

Solution

用自己的方式诠释操作，计数的切入点就是转化问题。

考虑覆盖得到最终序列的过程，其实就是从前往后将一个点作为操作的左端点向右覆盖的问题，我们称其为对点的一次操作。

不难发现，对一个位置上的点的操作只会进行一次。

我们不妨统计每个点在不同权值的情况下被操作的总次数，即假定 $(i,v)$（表示位置 $i$ 处填权值 $v$）被操作的情况下，对应的序列个数。

分该位置的左侧和右侧考虑。

右侧的数可以任意填，不会影响 $(i,v)$ 的操作情况。

左侧序列则会决定 $(i,v)$ 是否会被操作。

具体地，当且仅当下列情况的其中一种发生时：

• $1\sim i-1$ 中没有出现 $v$
• 对 $1\sim i-1$ 中所有满足 $a_j=v$ 的 $j$，保证 $j\sim i-1$ 中存在一个位置 $k$ 使得 $a_k<v$。

$(i,v)$ 会被操作，否则 $(i,v)$ 可以被之前出现过 $v$ 的位置上的操作给覆盖到。

模拟赛时一直考虑枚举最左边的 $v$ 在什么位置，然后一直出错。

如果静下心来观察，发现只有最靠近 $i$ 的 $x$（$a_x=v$）是有用的。如果 $x\sim i-1$ 中不存在 $a_k<v$，则 $(i,v)$ 不会被操作；否则，对于 $x$ 之前的所有权值为 $v$ 的位置 $y$，都因为 $y\sim i-1$ 包含 $x\sim i-1$ 而合法。

因此只需枚举最靠近 $i$ 的 $v$ 在什么位置 $x$ 即可，而 $1\sim x-1$ 间可以填 $1\sim m$ 中的任意数，$x+1\sim i-1$ 间不能填 $v$ 且必须出现小于 $v$ 的数。

总结就是，对 $(i,v)$，贡献为：

$$m^{n-i}((m-1{)}^{i-1}+\sum _{j=1}^{i-2}{m}^{j-1}((m-1{)}^{i-j-1}-(m-v{)}^{i-j-1}))$$

这个是可以 $O(n^2)$ 预处理出来一些东西然后 $O(1)$ 查询的，过程不难，不再赘述。注意只能求和到 $i-2$，因为 $a_{i-1}=v$ 时 $(i,v)$ 一定不用被操作。否则会出现一些 $0^0$ 之类的问题。

code ARC114C