AGC020F Arcs on a Circle
AGC020F Arcs on a Circle
Atcoder：AGC020F Arcs on a Circle
Solution
这么小的数据范围，大概率对应着一个神奇的复杂度进行 dp。
这个题麻烦的地方在于把一段弧覆盖上去，端点的取值是实数，不知道如何去 dp。
这里有一个技巧：
trick：将实数的整数部分和小数部分分开来考虑。
由于 连续型随机变量取值相等的概率近似为 \(0\)，因此每条线段端点的小数部分在 \([0,1)\) 的取值上存在着一个 相对大小关系，我们可以枚举这样的关系，具体做法就是将原本单位为 \(1\) 的线段拆成多条线段（就有多个“整点”），利用这些整点来转移。
然后 至少我觉得 dp 仍然是一件困难的事情。
环上不好 dp，我们希望 断环成链，于是我们想到 固定起始线段。
这里强制最长的一条线段作为起始，原因后文再说（其实是到这里还不会）
\(O(n!)\) 枚举小数部分的相对顺序，把环拆成 \(Cn\) 个点，第 \(i\times n + j\) 个点表示原环上距离值整数部分为 \(i\)，小数部分相对大小为第 \(j\) 位。
设 \(f[i][j][S]\) 表示考虑到第 \(i\) 个点，最远点位 \(j\)，选择线段的集合为 \(S\) 的方案数。那么答案为合法方案数除以总方案数，这里的总方案数计算为 \(n!\times C^{n - 1}\)，\((n - 1)!\) 是枚举小数部分相对位置（不是 \(n!\)，第一条线段小数部分为 \(0\)），\(C^{n - 1}\) 是除了第一条（长度最大的一条）线段起点固定外，其它线段的整数部分均有 \(C\) 种放法。注意 \(n!\) 已经考虑了小数部分，所以总方案数不是 \((n - 1)!\times (nC)^{n - 1}\)。
转移：
\(f[i + 1][j][S] \leftarrow f[i][j][S]\)：相当于不选线段以 \(i + 1\) 作为起点进行覆盖。
\(f[i + 1][\min(Cn,\max(j, pos))][S \cup \{x\}] \leftarrow f[i][j][S]\)：选择线段 \(x\)，更新最远点，同时要限制最远点不能超过 \(Cn\)（本质是方便统计答案）
甚至还可以用滚动数组优化空间。
