Burnside&Pólya

目录

• Burnside&Pólya
  • Burnside's Lemma
    • Intro
    • Burnside's Lemma
    • Examples
    • Ideas
  • Pólya Theorem
    • Intro
    • Pólya Theorem
    • Easy Example
    • 多面体的对称群
      • Problem 1
      • Problem 2
  • Pólya Theorem - Generating Function Version

Burnside&Pólya

Burnside's Lemma

Intro

Definition

对于一个置换 $g$ 和一个染色集合 $X\subseteq C$，$X$ 中满足 $g\cdot c=c$ 的染色 $c$ 的集合为 $X^g$。

其中这样的 $c$ 可看作 $g$ 作用下的不动点。

自然地想到了群论的另一个概念——稳定子群。

稳定子群是固定 $c$，满足 $g\cdot c=c$ 的 $g\in G$ 组成的 $G$ 的子群。

Definition

对于置换群 $G$ 和两个染色 $c_1,c_2$，称两个染色 本质相同 当且仅当 $\mathrm{\exists }g\in G$，使得 $g\cdot c_1=c_2$，记作 $c_1\sim c_2$。

由定义：

Corollary

$c_1\sim c_2$ 当且仅当下列条件之一成立：

1. $c_2\sim c_1$。

2. $\mathrm{\exists }g\in G$，使得 $g\cdot c_1=c_2$。

3. $c_2$ 在 ”$c_1$ 在 $G$ 中的轨道“ 中。

4. $c_1$ 在 $G$ 中的轨道和 $c_2$ 在 $G$ 中的轨道相同。

1. $g\cdot c_2=c_1⟺c_2=g^{-1}\cdot c_1$。由逆元存在性，$g^{-1}\in G$。因此 $c_2\sim c_1⟺c_1\sim c_2$。

2. 由定义。

3. 即 $c_2\in G\cdot c_1$。则必定 $\mathrm{\exists }g\in G$，使得 $c_2=g\cdot c_1$。由定义显然。

4. $G\cdot c_1=G\cdot c_2=G^{{}^{\prime }}$，则 $G^{{}^{\prime }}$ 中必定既包含 $c_1$ 又包含 $c_2$，因为幺元。

   然后由 "3" 的思路推。

还要提一句，这五句话互为充要条件。略。

Definition

对于置换群 $G$ 和它 固定 的染色集合 $X\subseteq C$，在 $G$ 的作用下，$X$ 中本质不同的染色数等于 $X$ 中所有元素在 $G$ 中形成的不同轨道的数目，记作 $|X/G|$。

这个和上述第 4 条关系很紧密。

我们发现 $c_1\sim c_2$ 当且仅当第 4 条成立时，能够引出：$c_1$ 和 $c_2$ 在 $G$ 中轨道相同时 $c_1\sim c_2$，否则 $c_1\nsim c_2$。

因此 $X$ 中本质不同的染色数等于 $X$ 中所有元素在 $G$ 中形成的不同轨道的数目。

通常情况下，题目所求即为 $|X/G|$，即 本质不同 的染色方案数。

Burnside's Lemma

Burnside's Lemma

对于群 $G$ 和它固定的染色集合 $X$，有：

$$|G||X/G|=\sum _{g\in G}{X}^g$$

即在 $G$ 的作用下，$X$ 中元素形成不同轨道的数目，等于 $G$ 中所有置换的不动点个数的平均值。

• Proof：

  考虑计算集合 $\{(g,c)|g\cdot c=c,g\in G,c\in X\}$ 的大小 $S$。

  一方面，枚举每个置换， $S=\sum _{g\in G}|X^g|$。

  另一方面，枚举染色，$S=\sum _{c\in X}|G_c|$。

  由轨道-稳定子群定理，$\sum _{c\in X}|G_c|=\sum _{c\in X}\frac{|G|}{|G\cdot c|}=|G|\sum _{c\in X}\frac{1}{|G\cdot c|}$。

  考察 $T=\sum _{c\in X}\frac{1}{|G\cdot c|}$，其中每个染色都对 $T$ 有 $\frac{1}{|G\cdot c|}$ 的贡献，想想 $G\cdot c$ 对应当前染色的轨道。

  由于我们把 $c\in X$ 全部枚举了一遍，则每个轨道刚好对 $T$ 贡献 $1$，因此 $T$ 为不同轨道的个数，

  即 $T=|X/G|$。

  回代，得 $|G||X/G|=\sum _{c\in X}|G_c|=\sum _{g\in G}|X^g|$。

一般来说，$G_c$ 是容易计算的，$X^g$ 在不同情况下采用不同的技巧简化运算。

Examples

Problem

在一个长为 $n$ 的环上染 $m$ 种颜色，通过旋转本质相同的染色视为同一种方案，求染色方案数。

$G=\{e,e^2,...,e^n\}$，相当于转 $1,2,...,n$ 次。

考虑转 $k$ 次，$X^g$ 即满足旋转后染色与旋转前相同的染色集，可以看成以 $gcd(n,k)$ 为一个循环节，每个循环的染色都相同，这样旋转后才会相同。

因此考虑对 $gcd(n,k)$ 个点可以进行无限制的染色，可产生方案 $m^{gcd(n,k)}$ 个。

总方案数为：$\frac{1}{n}\sum _{k=1}{m}^{gcd(n,k)}$，可以用莫反之类的做。

Ideas

• Burnside 引理通常配合裴蜀定理和莫比乌斯反演食用。

• 裴蜀定理将原环分成一段段 循环节，我们只需要分析一段即可。

  通常会根据题目限制，将这段循环节形成一个环思考，此时环上 不存在旋转等价等大的限制。

  一定要将“小环”放到“大环”上去思考。

• 循环节成环后，可能会考虑破环成链，转成序列计数问题。

Pólya Theorem

将 Burnside 引理限制群为置换群，染色为一般的染色，就能得到 Pólya 定理。

Intro

Lemma

对于置换 $g$ 和染色 $c$，设 $g$ 的循环表示是 $g=w_1\circ w_2\circ \cdots \circ w_y$，则 $g\cdot c=c$ 的充要条件是：

对于 $g$ 的每个循环 $(a_1{a}_2\cdots )$，$c$ 对 $a_1,a_2,\cdots$ 分配的颜色是相同的。

于是，假设颜色有 $m$ 种，且每个位置可分配的颜色集合都是相同的，

那么在 $g$ 的作用下不变的染色数量就应该是 $m^{\mathrm{\#}(g)}$。

Pólya Theorem

Pólya Theorem

对于 $n$ 元置换群 $G$ 和它固定的染色集合 $X$，如果这 $n$ 个位置可分配的颜色集合都是相同的，一共 $m$ 种，那么对于 $g\in G$，有：

$$|X^g|=m^{\mathrm{\#}(g)}$$

由 Burnside 引理，有：

$$|X/G||G|=\sum _{g\in G}{m}^{\mathrm{\#}(g)}$$

Easy Example

Problem

用 $m$ 种颜色对一个长度为 $n$ 的项链染色，在旋转同构的条件下，共有多少种染色方法？

额貌似重复了。QWQ

再次理解一下吧QWQ

多面体的对称群

Problem 1

Problem

求五种正多面体转动群的大小，以及立方体转动群。

• 正四面体的转动群同构于 $A_4$。
• 正六面体（立方体）的转动群同构于 $S_4$。
• 正八面体的转动群同构于 $S_4$。
• 正十二面体的转动群同构于 $A_5$。
• 正二十面体的转动群同构于 $A_5$。

Problem 2

Problem

给一个正方体的每个面染色，共 $m$ 种颜色，求有多少种染色方案。

正方体的转动群同构于 $S_4$，将这个置换群嵌入 $6$ 个面，

鸽

Pólya Theorem - Generating Function Version

假设生成函数 $f(t)=f_0+f_{1}t+f_2{t}^2+\cdots$，其中 $f_w$ 为权值为 $w$ 的颜色数量。

定义一个置换群的 $G$ 循环指标群中所有置换的循环指标的平均值，记作 $Z_G(t_1,t_2,\cdots ,t_n)$，并定义一个染色的权值为 $n$ 个位置所分配的颜色的权值之和。

用生成函数 $F(t)$ 表示 $G$ 的作用下本质不同的染色数的生成函数，其中 $[t^w]F(t)$ 为权值为 $w$ 的 染色 数量。

则：

$$F(t)=Z_G(f(t),f(t^2),f(t^3),\cdots ,f(t^n))$$

同理，这个定理还可以推广到多元生成函数的情形中。

这里给出更详细的解释：（摘自 Dave Zhou - 组合数学--计数组合 (3)）

对 $n$ 个对象的集合 $A=\{1,2,\cdots ,n\}$ 用 $m$ 种颜色 $C=\{c_1,c_2,\cdots ,c_m\}$ 进行染色，$A$ 上的置换群为 $G=\{a_1,a_2,\cdots ,a_g\}$，任意置换 $g$ 的类型记作 $t_1^{{\mathrm{\#}}_1(g)}{t}_2^{{\mathrm{\#}}_2(g)}\cdots t_n^{{\mathrm{\#}}_n(g)}$，其循环个数为 $\mathrm{\#}(g)=\sum _{i=1}^n{\mathrm{\#}}_i$。

$G$ 的循环指标为 $Z_G(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{x}_1^{{\mathrm{\#}}_1(g)}{x}_2^{{\mathrm{\#}}_2(g)}\cdots x_n^{{\mathrm{\#}}_n(g)}$。

令 $x_j=c_1^j+c_2^j+\cdots +c_m^j(j=1,2,\cdots ,n)$，可得到不同染色方案数的生成函数为：

$$Z_G(\sum _{i=1}^m{c}_i,\sum _{i=1}^m{c}_i^2,\cdots ,\sum _{i=1}^m{c}_i^n)$$

生成函数中 $c_1^{p_1}{c}_2^{p_2}\cdots c_m^{p_m}$ 的系数表示把 $A$ 的 $p_1$ 个元素染成 $c_1$，$p_2$ 个元素染成 $c_2$，$\dots$，$p_m$ 个元素染成 $c_m$ 的不同染色的方案数。

生成函数形式的Polya定理不仅给出了计数，也给出了具体的着色方案。

若将 $c_i=1(i=1,2,\cdots ,m)$ 带入生成函数得到 $Z_G(m,m,\cdots ,m)$，就是其系数和，它就是总的不同着色方案数。

我的理解：

首先我 忽略yhx巨佬的定义，看到了知乎上的这份笔记。

最开始的理解是：$x_j$ 和 $Z_G(\cdots )$ 是两个生成函数。

我的疑惑是：生成函数套生成函数是什么鬼？

将 $c_i,x_i$ 当作形式变元，最后 $x_i$ 乘起来会对应很多个 $c_1^{p_1}{c}_2^{p_2}\cdots c_m^{p_m}$ 的项，而项的系数往往就是我们想要的答案。

重点解析后面这两句话。

生成函数的版本给出具体的着色方案，即我们可以根据每种颜色的个数限制，在生成函数 $Z_G(\cdots )$ 里找到满足条件的所有项，计算它们的系数之和，这样我们就能够 在限制条件下用生成函数搭配Polya定理计算答案。

解答之前的疑惑，这个所谓的 PGF 生成函数版的 Polya 定理其实就是每种颜色对应生成函数的乘积，

本质是生成函数的乘积，我可以把它看作是广义的卷积，每种颜色的个数贡献作为次数，加起来为要染的元素总数。

而这个过程中，我们实现了 具体的着色方案。

当毫无条件限制时，$Z_G(\cdots )$ 展开后的每一项都可以选择，为方便计算，我们考虑给形式变元赋值，取 $c_i=1$，这样 $Z_G(\cdots )$ 就是答案。不难发现，这正是普通 Polya 定理的形式。

所以说，Polya 的生成函数版本，就是 Polya 定理的完整版。