Introduction to Group
Introduction to Group
Definitions of Group
Group
Definition (Group)
若一个集合 \(G\) 和其上的运算 \(\circ\) 满足以下四个条件，则称二元组 \((G,\circ)\) 构成群，或称 \(G\) 在 \(\circ\) 下构成群。在不混淆的情况下，也可称 \(G\) 是群。
- 1. 封闭性：\(\forall f,g\in G\)，\(f\circ g\in G\)。
- 2. 结合律：\(\forall f,g,h\in G\)，\((f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)\)。
- 3. 单位元存在性：\(\exists e\in G\)，使得 \(\forall g\in G\)，\(g\circ e=e\circ g=g\)。
- 4. 逆存在性：\(\forall f\in G,\exists g\in G\)，使得 \(f\circ g=g\circ f=e\)。
其中 \(e\) 叫 单位元(幺元)，对满足 \(f\circ g=g\circ f=e\) 的 \(g\)，称为 \(f\) 的 逆元，记作 \(f^{-1}\)。\(f^{-1}\) 唯一。
Abelian Group (阿贝尔群)
Definition (Abelian Group)
当群 \(G\) 的运算满足 交换律 时，我们称 \(G\) 是一个 交换群 或 阿贝尔 (Abel) 群。
Special Groups
整数加法群
整数集合 \(\text{Z}\) 关于加法 \(+\) 构成群 \((\text{Z}, +)\)。
Cyclic Group (循环群)
对于任何正整数 \(m\)，在模 \(m\) 的意义下的加法也构成群。
这个群非常重要，我们把它称为 \(m\) 阶 循环群 (Cyclic Group)，记作 \(Z_m\)。
Symmetry Group (对称群)
所有 \(n!\) 个 \(n\) 元置换构成一个群，这个群被称为 \(n\) 元 对称群 (Symmetry Group)，记作 \(S_n\)。
Alternating Group (交错群)
可以验证，所有 \(\lfloor \frac{n!}{2} \rfloor\) 个偶置换也构成一个群，这个群被称为 \(n\) 元 交错群 (Alternating group) ，记作 \(A_n\)。
Dihedral Group (二面体群)
对于一个正 \(n\) 边形，它的 旋转群 和 \(Z_n\) 是“本质相同”的(被称为“同构”)，因此没必要去一个新的名称；
它的 旋转/翻转群 (意思就是把旋转和翻转构成的图形合起来的群) 共有 \(2n\) 个元素，
被称为 \(2n\) 阶 二面体群 (Dihedral Group)，记作 \(D_{2n}\)。
Order (阶)
Definition (Order)
群 \(G\) 的元素个数称为 \(G\) 的 阶，简记为 \(|G|\)。
若群 \(G\) 有无穷多个元素，称 \(G\) 为 无限群；
否则称 \(G\) 为 有限群。
元和阶的概念不一样，不能乱用。
对于置换来说，元就是每个置换的元素个数，而不是置换群的元素(置换)个数。
- \((\text{Z},+)\) 为无限群。
- \(|Z_m|=m\)。
- \(|S_n|=n!\)。
- \(|A_n|=\lfloor \frac{n!}{2} \rfloor\)。
- \(|D_{2n}|=2n\)。
Subgroup (子群)
Subgroup
Definition (Subgroup)
设 \((G,\circ)\) 是群，若 \((G,\circ)\) 的子集 \((H,\circ)\) 对 同一种运算 \(\circ\) 也构成群，
则称 \((H,\circ)\) 是 \((G,\circ)\) 的子群，记作 \((H,\circ)\le (G,\circ)\)。
- \(A_n\le S_n\)。
- \(Z_n\le Z_m \iff n|m\)。
- \(Z_m \not\le (\text{Z},+)\)，因为前者是模意义下的加法，后者是普通加法，两者不是同一种运算。
Generated Subgroup (生成子群)
Definition (Generated Subgroup)
设 \((G,\circ)\) 是群，\(S\) 为 \(G\) 的一个 非空子集，
则把包含 \(S\) 的所有子群的交称为 \(S\) 在 \(G\) 中生成的子群，记作 \(< S >\)。
Lagrange Theory (拉格朗日定理)
Coset (陪集)
Coset
Definition (Ceset)
对于群 \(G\) 和它的子群 \(H \le G\)，对于一个元素 \(g \in G\)，记集合 \(gH = \{g \circ h|h ∈ H\}\) 为 \(H\) 在 \(G\) 中导出的一个左陪集，同理可以定义右陪集。
- 在多数情况下，陪集不是子群。
Properties of Coset
我们只讨论右陪集，左陪集同理。
Property 1
Property 1
\(\forall g\in G\)，\(|H|=|Hg|\)。
由于逆元唯一，对于 \(h_1,h_2\in H,h_1 \ne h_2\)，有 \(h_1\circ g \ne h_2\circ g\)。
所以每一个 \(h\) 对应一个 \(hg\)，这些 \(hg\) 互不相同，因此 \(|H|=|Hg|\)。
Property 2
Property 2
\(\forall g\in G\)，\(g\in Hg\)。
由于 \(H\) 是个群，且与 \(G\) 是同一个运算，因此也包含幺元 \(e\)，\(e\circ g=g\)，因此 \(g\in Hg\)。
Property 3
Property 3
\(Hg=H \iff g\in H\)。
\(p\to q\)：\(Hg\) 也是个群，\(g\) 与 \(H\) 内的元素进行运算得到群内元素，由群的封闭性，\(g\) 必须包含在群内。
\(q\to p\)：仍然看作是 \(H\) 群内元素的运算，由封闭性可知。
Property 4
Property 4
\(Ha=Hb \iff a\circ b^{-1}\in G\)。
\(p\to q\)：由 \(Ha=Hb\)，有 \(Ha\circ b^{-1}=H\)。又由性质 3，\(a\circ b^{-1}\in G\)。(其实这种写法不太严谨...)
\(q\to p\)：同由性质 3。反过来推就行了。
Property 5
Property 5
\(Ha \cap Hb \ne \emptyset \iff Ha=Hb\)。
这条性质很有用。
即对于 \(H\) 的任意两个左/右陪集，它们要么相等要么完全不相交。
设 \(c\in Ha\) 且 \(c\in Hb\)，则 \(\exists h_1,h_2\in H\)，使得 \(h_1\circ a=h_2\circ b=c\)，
移项得 \(a\circ b^{-1}=h_2 \circ h_1^{-1} \in H\)。由性质 4，\(Ha=Hb\)。
那么其实可以打双箭头了。
Property 6
Property 6
\(H\) 的全体左/右陪集的并为 \(G\)。
由于 \(e\in H\)，\(g\) 取遍 \(G\) 中的所有元素，显然。逃
Lagrange Theory
Lagrange Theory
\[|H| \times [G:H]=|G| \]
这里引入一个表述：
Definition
若 \(H\le G\)，则 \([G:H]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 的不同陪集的数量。
\(H\) 的陪集大小均为 \(|H|\)，它们要么不相交要么相等，全体陪集并为 \(G\)，于是拉格朗日定理显然成立。
接下来在一般群的定义上，引入关于置换群的特殊概念。
Coloring (染色)
Coloring
Definition (Coloring)
一个 \(n\) 元染色，指的是对集合 \([n]\) 的每个元素分配一个物品(可以是颜色、数，等等) 的分配方案 。
比如，当 \(n=3\) 时， \(\{1 → 红, 2 → 绿, 3 → 粉\}\) 是一个染色，\(\{1 → 123, 2 → 254, 3 → 357\}\) 也是一个染色。
Action (作用)
置换群相对于其它的群有一个好处，它的元素是置换。而置换，是可以 作用 于染色的。
Definition (Action)
对于置换 \(f ∈ S_n\) 和染色 \(c ∈ C\)，定义满足 \(f (i)\) 的颜色是 \(c[i]\) 的染色 \(c^{'}\)，为 \(f\) 作用于 \(c\) 的结果，记为 \(f · c\)，简记为 \(f c\)。即 \((f \cdot c) [i] = c[ f^{-1} (i)]\)。
可见，置换作用于染色后的结果仍是染色。
置换对染色满足以下两个 十分重要 性质：
- \(e \cdot c=c\)。
- \((f\circ g)\cdot c=f \cdot (g \cdot c)\)。
通过这两个性质可以得到抽象的染色概念：
Generalized Coloring
Definition (Generalized Coloring)
对于群 \(G\) (无须是置换群) 和一个全集 \(C\)，对于 \(G\) 中任意一个元素和 \(C\) 中任意一个元素 \(c\)，
定义运算 \(\cdot\) 满足 \(g · c ∈ C\)，且满足如下两个性质：
- \(e \cdot c=c\)。
- \((f\circ g)\cdot c=f\cdot (g\cdot c)\)。
则称 \(C\) 是广义染色集合，\(C\) 中的元素 \(c\) 是广义染色。
\(C\) 是一个无穷集合。
Orbit-stabilizer Theorem (轨道-稳定子群定理)
Orbit (轨道)
Definition (Orbit)
考虑一个群 \(G\) 和一个染色 \(c\)，将群中所有元素都对 \(c\) 作用，得到一个 \(C\) 的子集，记作 \(G\cdot c\)。
\[G\cdot c=\{g\cdot c |g\in G \} \]这个染色集合 \(G\cdot c\) 被称为 \(c\) 在 \(G\) 中的轨道。
- \(|G\cdot c| \le|G|\)。在染色集合 \(G\cdot c\) 中，一个染色可对应多个群中元素。
Definition (fixed)
对一个染色集合 \(X \subseteq C\)，定义 \(G\cdot X=\{g\cdot c|g\in G,c\in X \}\)。
若 \(G\cdot X=X\)，则称 \(X\) 在 \(G\) 下 固定 (fixed)。
可以理解为，给了 \(G\) 一个固定的运算，即使 \(X\) 要染成哪些颜色无法确定，每个 \(X\) 也都都是有限的。
不同的颜色可以导出不同的染色集合 \(X\)，因此颜色导致 \(X\) 的个数无限。
Stabilizer Subgroup (稳定子群)
Definition (Stabilizer Subgroup)
对于一个置换群 \(G\) 和一个染色 \(c\)，群中满足 \(g\cdot c=c\) 的置换 \(g\) 构成一个群，
称为染色 \(c\) 的 稳定子群，记作 \(G_c\)。
\(G_c\) 中的元素可称作 稳定子。
\(G_c\) 构成群，这一点可以由定义证明：
-
单位元存在性显然，\(e\cdot c=c\)。
-
逆元存在性：
考虑 \(g\cdot c=c \iff g^{-1}\cdot (g\cdot c)=g^{-1} \cdot c \iff (g^{-1}\circ g) \cdot c=g^{-1} \cdot c \iff g^{-1} \cdot c=c\)。
即若 \(g\) 在 \(G_c\) 内，\(g^{-1}\) 也在 \(G_c\) 内。
-
结合律：置换的合成显然满足。
-
封闭性：设有 \(f \cdot c=c,g\cdot c=c\)，考虑代换：\(f\cdot(g\cdot c)=c \iff (f\circ g)\cdot c=c\)。
即 \(f \circ g\) 也在 \(G_c\) 内，满足封闭性。
Orbit-stabilizer Theorem
Orbit-stabilizer Theorem
对于置换群 \(G\) 和染色 \(c\)，有：
\[|G\cdot c| \times |G_c|=|G| \]
-
Proof：
上文已证 \(G_c\) 是 \(G\) 的子群。
任取 \(G\) 中的元素 \(g\)，对左陪集 \(gG_c=\{g\circ h|h\in G_c \}\) 中的元素 \(f=g\circ h_0\)，
有 \(f\cdot c=(g\circ h_0)\cdot c=g\cdot(h_0\cdot c)=g\cdot c\)，
因此 左陪集 \(gG_c\) 中的所有置换作用于 \(c\) 产生相同的一种染色 \(g\cdot c\)。
另一方面，对于两个不同的左陪集 \(g_1G_c,g_2G_c\)，它们作用于 \(c\) 不能产生相同的染色。
补证：若它们能产生相同的染色，由上面的论述，只需把 \(g_1\cdot c\) 与 \(g_2\cdot c\) 拿出来考察，
由我们的假设，\(g_1\cdot c=g_2\cdot c \iff g_2^{-1}\cdot(g_1\cdot c)=c \iff (g_2^{-1}\circ g_1)\cdot c=c\)。
由稳定子群的定义，\(g_2^{-1}\circ g_1\in G_c\)。
由陪集性质 4，\(g_2^{-1}\circ g_1 \in G_c \iff g_1G_c=g_2G_c\)，与假设矛盾，因此原命题成立。
总结一下前面两步，对于稳定子群 \(G_c\)，先证明了同一陪集引出同一染色，以此为基础证明了不同陪集引出不同染色。
\(G_c\) 导出的不同陪集的数量为 \([G:G_c]\)，而这也正是能导出的不同染色的数量。
\(G_c\) 作为 \(G\) 的一个子群，它的所有陪集的并为 \(G\)，因此这些陪集能导出的染色集合就是 \(G\cdot c\)，即 \([G:G_c]=|G\cdot c|\)。
由拉格朗日定理，\(|G|=|G_c|\times |G:G_c|=|G_c|\times |G\cdot c|\)。
轨道大小 \(\times\) 稳定子群大小 = 原群大小
