SAM (后缀自动机)

SAM

Intro

Use

Definition

字符串 $s$ 的 SAM 是一个接受 $s$ 的所有后缀的最小 DFA （确定性有限自动机或确定性有限状态自动机）。

SAM 是一张 DAG。节点被称为状态，边被称作状态间的转移。
图存在一个源点 $t_0$，称作 初始状态，其它各节点均可从 $t_0$ 出发到达。
每个转移都标有一些字母。从一个节点出发的转移均不同。
存在一个或多个 终止状态。如果我们从 $t_0$ 出发，最终转移到了一个终止状态，则路径上的所有转移连接起来一定是 $s$ 的一个后缀。

$s$ 的每个后缀均可用一条从 $t_0$ 到某个终止状态的路径构成。
在所有满足上述条件的自动机中，SAM 的结点数是最少的。

Demonstration

endpos (结束位置)

Definition

endpos

对于 $s$ 的任意非空子串 $t$，我们记 $\operatorname{endpos}(t)$ 为在 $s$ 中 $t$ 的所有结束位置。

规定字符串从 $0$ 开始编号。

$\operatorname{endpos}()$ 是一个集合。

等价类

两个子串 $t_1$ 和 $t_2$ 的 $\operatorname{endpos}$ 集合可能相等：$\operatorname{endpos}(t_1)=\operatorname{endpos}(t_2)$。

这样所有 $s$ 的非空子串都可以根据它们的 $\operatorname{endpos}$ 被分成若干 等价类。

Property

Lemma 1

Lemma 1 (endpos)

字符串 $s$ 的两个非空子串 $u$ 和 $w$ （假设 $|u|\le |w|$）的 $\operatorname{endpos}$ 相同，当且仅当字符串 $u$ 在 $s$ 中的每次出现，都是以 $w$ 的后缀的形式存在的。

Lemma 2

Lemma 2 (endpos)

考虑两个非空子串 $u$ 和 $w$（假设 $|u|\le |w|$）。则：

\[\begin{cases} \operatorname{endpos}(w)\subseteq \operatorname{endpos}(u) & \text{if $u$ is a suffix of $w$} \\ \operatorname{endpos}(w)\cap \operatorname{endpos}(u)=\emptyset & \text{otherwise} \end{cases} \]

Lemma 3

Lemma 3 (endpos)

考虑一个 $\operatorname{endpos}$ 等价类，将类中所有子串按长度非递增的顺序排序。每个子串都不会比它前一个子串长，与此同时每个子串也是它前一个子串的后缀。换句话说，对于同一等价类的任一两子串，较短者为较长者的后缀，且该等价类中的子串长度恰好覆盖整个区间 $[x,y]$。

其中 $x$ 表示最短子串长度，$y$ 表示最长子串长度。

Link (后缀链接)

Intro

考察 SAM 中某个不是 $t_0$ 的状态 $v$。

$v$ 对应着一个等价类，设 $w$ 是这个等价类中长度最长的子串。

将 $w$ 的后缀按长度降序排列，则前面一些后缀和 $w$ 同属一个等价类，而另一些后缀对应另外的 $\operatorname{endpos}$。

并且至少有一个 $w$ 的后缀对应另外的 $\operatorname{endpos}$（考虑空串）。

设 $x$ 为满足不属于在包含 $w$ 的等价类里的一个 $w$ 的后缀，则状态 $v$ 连向状态 $x$。

状态的本质就是重要的转折子串。

Property

Lemma 4

Lemma 4 (link)

所有后缀链接构成一棵根节点为 $t_0$ 的树。

Lemma 5

Lemma 5 (link)

通过 $\operatorname{endpos}$ 集合构造的树（每个子节点的子集都包含在父节点的子集中）与通过后缀链接构成的树相同。

Demonstration

Algorithm

SAM 是一个在线算法。

大致方法是：逐个加入字符，对应维护 SAM。

一开始 SAM 只包含一个状态 $t_0$，编号为 $0$（其它状态的编号为 $1,2,\cdots$）。为了方便，对于状态 $t_0$ 我们指定 $len=0$、$link=-1$（$-1$ 表示虚拟状态）。

现在，任务转化为实现给当前字符串添加一个字符 $c$ 的过程。算法流程如下：

令 $last$ 为添加字符 $c$ 之前，整个字符串对应的状态（一开始我们设 $last=0$，算法的最后一步更新 $last$）。
创建一个新的状态 $cur$，并将 $len(cur)$ 赋值为 $len(last)+1$，在这时 $link(cur)$ 的值还未知。
现在我们按以下流程进行（从状态 $last$ 开始）。如果还没有到字符 $c$ 的转移，我们就添加一个到状态 $cur$ 的转移，遍历后缀链接。如果在某个点已经存在到字符 $c$ 的转移，我们就停下来，并将这个状态标记为 $p$。
如果没有找到这样的状态 $p$，我们就到达了虚拟状态 $t_0$，我们将 $link(cur)$ 赋值为 $0$ 并退出。
假设现在我们找到了一个状态 $p$，其可以通过字符 $c$ 转移。我们将转移到的状态标记为 $q$。
现在我们分类讨论两种状态，要么 $len(p)+1=len(q)$，要么不是。
如果 $len(p)+1=len(q)$，我们只要将 $link(cur)$ 赋值为 $q$ 并退出。
否则就会有些复杂。需要复制状态 $q$：我们创建一个新的状态 $clone$，复制 $q$ 的除了 $len$ 的值以外的所有信息（后缀链接和转移）。我们将$len(clone)$ 赋值为 $len(p)+1$。
复制之后，我们将后缀链接从 $cur$ 指向 $clone$，也从 $q$ 指向 $clone$。
最终我们需要使用后缀链接从状态 $p$ 往回走，只要存在一条通过 $p$ 到状态 $q$ 的转移，就将该转移 重定向 到状态 $clone$。
以上三种情况，在完成这个过程之后，我们将 $last$ 的值更新为状态 $cur$。