P3826 [NOI2017] 蔬菜 题解

Description

有 $n$ 种蔬菜，对于所有的满足条件 $d\times x_i\le c_i$ 的正整数 $d$ ，有 $x_i$ 个单位的蔬菜将在 第 $d$ 天结束时变质。

特别地，若 $(d-1)\times x_i\le c_i<d\times x_i$ ，则有 $c_i-(d-1)\times x_i$ 单位的蔬菜将在第 $d$ 天结束时变质。

注意，当 $x_i=0$ 时，意味着这种蔬菜不会变质。

同时，每天销售的蔬菜，总量也是有限的，最多不能超过 $m$ 个单位。

现在，小 N 有 $k$ 个问题，想请你帮忙算一算。每个问题的形式都是：对于已知的 $p_j$，如果需要销售 $p_j$ 天，最多能获得多少收益。

$n,p_j\le {10}^5,m\le 10$。

Solution

首先考虑怎么建出费用流模型。

注意到每天会有蔬菜消失，很难处理，所以考虑时空倒流，这样就变为每天会有一些蔬菜添加进去。

建立源点 $S$，汇点 $T$，定义 $(t,i)$ 表示第 $t$ 天第 $i$ 种蔬菜对应的点，$[t]$ 表示第 $t$ 天采购对应的点，则可以连出如下边：

• $(S,(t,i),a_i,max\{c_i-(t-1)\times x_i,0\})$
• $((t,i),(t-1,i),+\mathrm{\infty },0)$
• $((t,i),[t],+\mathrm{\infty },0)$
• $([t],T,m,0)$

但是这里没有考虑每种蔬菜第一次买的 $s_i$ 的贡献，这也是好处理的，只需要将 $i$ 蔬菜第一次出现的时刻里选一个边的边权变为 $a_i+s_i$ 即可，容易发现一个蔬菜如果被选就一定优先选这个特殊边。

考虑如何模拟这个费用流。

这里用每次加点的方式跑。观察上图会发现只有 II 和 III 种增广路是有效的，而这两种都不会退流，所以 $[1,t]$ 时刻最优解用到的蔬菜一定是 $[1,t-1]$ 的超集，而 $[1,t]$ 的所有蔬菜放到 $[1,t-1]$ 不考虑每天销售限制的话都能用，所以如果求出 $[1,t]$ 的蔬菜，将这些用到的按照权值从大到小排序即可得到 $[1,t-1]$ 的蔬菜。

现在只需要求出 $[1,{10}^5]$ 所用到的蔬菜即可，同样考虑时空倒流，用一个堆维护目前没被用完的蔬菜的权值和出现次数。注意到我们不能每次都更新每个蔬菜的剩余数量，但是由于只需要找到出现次数至少一次的蔬菜，所以当某个蔬菜删空了再更新数量即可。

时间复杂度：$O(nm\log n)$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
 
// #define int int64_t
 
using i64 = int64_t;
 
const int kMaxN = 1e5 + 5, kMaxT = kMaxN * 10;
 
int n, m, k, t;
int a[kMaxN], s[kMaxN], c[kMaxN], x[kMaxN], lst[kMaxN], now[kMaxN];
i64 veg[kMaxT], ans[kMaxT];
std::vector<std::tuple<int, int, int>> vec[kMaxN];
 
int gettime(int c, int x) {
  if (!x) return 1e5;
  else return (c - 1) / x + 1;
}
 
void solve() {
  std::priority_queue<std::tuple<int, int, int>> q;
  for (int c = 1e5; c; --c) {
    for (auto [x, w, cnt] : vec[c])
      q.emplace(w, x, cnt), now[x] += cnt;
    std::vector<int> vv;
    for (int cc = 1; cc <= m && !q.empty(); ++cc) {
      auto [w, i, cnt] = q.top(); q.pop();
      veg[++t] = w, --now[i], --cnt;
      if (cnt) q.emplace(w, i, cnt);
      if (!now[i] && x[i]) {
        if (lst[i] > c) q.emplace(a[i], i, now[i] += x[i] * (lst[i] - c)), lst[i] = c;
        else vv.emplace_back(i);
      }
    }
    for (auto i : vv) q.emplace(a[i], i, now[i] += x[i]), lst[i] = c - 1;
  }
  std::sort(veg + 1, veg + 1 + t, std::greater<>());
  for (int i = 1; i <= t; ++i) ans[i] = ans[i - 1] + veg[i];
}
 
void dickdreamer() {
  std::cin >> n >> m >> k;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    std::cin >> a[i] >> s[i] >> c[i] >> x[i];
    vec[gettime(c[i], x[i])].emplace_back(0, a[i] + s[i], 1);
    --c[i];
    if (c[i]) {
      int t = gettime(c[i], x[i]);
      lst[i] = t;
      vec[t].emplace_back(i, a[i], c[i] - x[i] * (t - 1));
    }
  }
  solve();
  for (int i = 1; i <= k; ++i) {
    int p;
    std::cin >> p;
    std::cout << ans[std::min(p * m, t)] << '\n';
  }
}
 
int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
  freopen("in.txt", "r", stdin);
  freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
  std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
  int T = 1;
  // std::cin >> T;
  while (T--) dickdreamer();
  // std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
  return 0;
}