[CEOI2023] A Light Inconvenience 题解

Description

今年 CEOI 的开幕式上有一场精彩的火炬表演。表演者们站成一排，从 \(1\) 开始从左往右编号。每个表演者举着一根火炬，初始只有一个举着点燃的火炬的表演者。

表演分为 \(Q\) 幕。在第 \(a\) 幕开始之前，要么 \(p_a > 0\) 个表演者从右侧加入表演，他们的火炬是熄灭的；要么最右侧 \(p_a > 0\) 个表演者决定离开，并熄灭他们的火炬（如果他们的火炬是点燃的）。表演者的加入和离开不受委员会的控制。最左侧的表演者永远留在台上。

一旦第 \(a\) 幕准备好了，委员会需要宣布一个非负整数 \(t_a \geq 0\)。对于每个举着点燃的火炬的表演者，用他的火炬点燃他右侧 \(t_a\) 个人的火炬。也就是说，第 \(i\) 个人的火炬在传火后是点燃的，当且仅当表演者 \(\max(1, i - t_a), \cdots, i\) 中至少一个人的火炬在传火前是点燃的。\(t_a\) 不应超过 \(p_a\)。

在第 \(a\) 幕结束时，委员会需要告知每个举着点燃的火炬的表演者是否熄灭火炬。出于美学原因，最右侧的表演者应保持他的火炬点燃。此外，为了节省汽油，点燃的火炬数量不应超过 \(150\)。

编写程序帮助委员会在上述限制下主持表演。

对于所有数据，\(1\leq N\leq 10 ^ {17}\)，\(1\leq Q\leq 5\times 10 ^ 4\)。

Solution

考虑将整个 01 序列反转，转化为从开头加/删数。

设序列中第 \(i\) 个 \(1\) 的位置为 \(f_i\)，当 \(p=f_i\) 时就需要满足 \(f_i+1\leq f_{i+1}\leq 2f_i+1\)，同时 \(f_1=1,f_t=n\)。所以如果没有删除操作，就让 \(f_i=\min\{2f_{i-1}+1,n\}\) 即可。

加入删除操作就不好做了，因为删掉开头的 \(p\) 个数后 \(f\) 数组的形态会变得很不固定，难以维护。

不妨设 \(g\) 数组为删除操作后的新的 \(1\) 的位置序列，考虑用原来的 \(f\) 序列构造 \(g\) 序列。

显然 \(g_{i-1}+1\leq g_i\leq 2g_{i-1}+1\)，由于 \(f_j\) 控制的区间为 \([f_j-2p,f_j-p]\)，所以所有 \(g_i\) 一定要出自这些区间。

假设已经构造好了 \(g_1,g_2,\ldots,g_{i-1}\)，设 \(j\) 为满足 \(f_j-2p\leq 2g_{i-1}+1\) 的最大的 \(j\)，那么 \(2f_j+1-2p\geq f_{j+1}-2p>2g_{i-1}+1\)，即 \(f_j-p\geq g_{i-1}+1\)，所以 \([f_j-2p,f_j-p]\) 与 \([g_{i-1}+1,2g_{i-1}+1]\) 一定有交，贪心地令 \(g_i\) 为 \(\min\{f_j-p,2g_{i-1}+1\}\) 即可。

下面算一下这个做法维护的序列长度。

如果 \(g_i=2g_{i-1}+1\)，则 \(g\) 翻倍了。如果 \(g_i=f_j-p\)，则 \(2g_i+1=2f_j-2p+1\geq f_{j+1}-2p\)，所以 \(g_{i+1}\geq\min\{f_{j+1}-p,2g_i+1\}\)。如果 \(g_{i+1}=2g_i+1\)，则 \(g\) 翻倍了，否则 \(g_{i+1}=f_{j+1}-p\geq 2g_{i-1}+1\)。

所以 \(g\) 数组每两个就会翻一次倍，所以长度为 \(2\log n+O(1)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#include "light.h"

#ifdef ORZXKR
#include "sample_grader.cpp"
#endif

const int kMaxt = 155;

int64_t n = 1, t = 0;
int64_t f[kMaxt], g[kMaxt];

void prepare() {
  n = 1;
  f[t = 1] = 1;
}

std::pair<long long, std::vector<long long>> join(long long p) {
  if (f[t] == n) --t;
  if (!t) f[t = 1] = 1;
  n += p;
  for (;;) {
    if (f[t] == n) break;
    f[t + 1] = std::min<int64_t>(2ll * f[t] + 1, n);
    ++t;
  }
  std::vector<long long> vec;
  for (int i = t; i; --i) vec.emplace_back(n + 1 - f[i]);
  return {p, vec};
}

std::pair<long long, std::vector<long long>> leave(long long p) {
  n -= p;
  int _t = 0;
  g[_t = 1] = 1;
  for (int i = 1;;) {
    if (g[_t] == n) break;
    for (; i < t && f[i + 1] - 2ll * p <= 2ll * g[_t] + 1; ++i) {}
    g[_t + 1] = std::min<int64_t>({n, f[i] - p, 2ll * g[_t] + 1});
    ++_t;
  }
  t = _t;
  for (int i = 1; i <= t; ++i) f[i] = g[i];
  std::vector<long long> vec;
  for (int i = t; i; --i) vec.emplace_back(n + 1 - f[i]);
  return {p, vec};
}