P7408 [JOI 2021 Final] 地牢 3 题解
Description
有一个 \(N+1\) 层的地牢，在地牢里有 \(M\) 个玩家。地牢的每层从入口开始，用 \(1\) 到 \(N+1\) 的整数编号。玩家从 \(1\) 到 \(M\) 标号。
玩家使用能量从一层移动到下一层。玩家从第 \(i\ (1\le i\le N)\) 层移动到第 \(i+1\) 层所用的能量为 \(A_i\)。因为这是一个单向通行的地牢，所以玩家只能从第 \(i\) 层移动到第 \(i+1\) 层，并且要保证 \(1\le i\le N\)。
在第 \(1\) 到第 \(N\) 层的每层（包括第 \(1\) 和第 \(N\) 层）都有治疗泉。在第 \(i\) 层的治疗泉处，玩家可以花 \(B_i\) 金币，使自己的能量增加 \(1\)。只要玩家有足够的金币，他就可以多次使用治疗泉。但是，每个玩家都有最大能量，使用治疗泉的话也不能使自己的能量超过最大值。
现在玩家 \(j\ (1\le j\le M)\) 在第 \(S_j\) 层。他目前的能量为 \(0\)。他的最大能量是 \(U_j\)。他想要到第 \(T_j\) 层。在路上他的能量不能小于 \(0\)。他需要多少金币呢？
给定这个地牢和玩家的信息，写一个程序计算对于每个玩家，是否可以在移动过程中能量不小于 \(0\) 的情况下到达目的地。如果可以的话，计算他最少需要多少金币才能达成目标。
对于所有数据，满足：
\(1\le N,M\le 2\times 10^5\)；
\(1\le A_i,B_i\le 2\times 10^5\ (1\le i\le N)\)；
\(1\le S_j<T_j\le N+1\ (1\le j\le M)\)；
\(1\le U_j\le 10^8\ (1\le j\le M)\)。
Solution
首先考虑对题意进行转化，设 \(c_i=\sum_{j<i}{a_j}\)，将走地牢转化为在数轴上从 \(c_s\) 走到 \(c_t\)，而使用治疗泉可以看作是在 \([c_i,c_i+U)\) 这个区间里用 \(b_i\) 的代价选择一个位置激活，问将 \([c_s,c_t)\) 里所有的位置都激活的最小代价。
容易发现一个位置 \(p\) 的代价是 \([p-U+1,p]\) 区间内关键点权值的最小值。
考虑对于每个关键点 \(i\) 算出其控制的区间，设 \(pre\) 为 \(i\) 之前第一个代价小于 \(b_i\) 的位置，\(nxt\) 为 \(i\) 之后第一个代价小于 \(b_i\) 的位置。
那么一个位置 \(p\) 被 \(i\) 控制当且仅当 \(p-U\geq c_{pre},p-U<c_i,p<c_{nxt}\)，整理一下为：\(\max\{c_i,c_{pre}+U\}\leq p<\min\{c_i+U,c_{nxt}\}\)。
于是关键点 \(i\) 对答案的贡献为 \(b_i\times\left(\min\{c_i+U,c_{nxt}\}-\max\{c_i,c_{pre}+U\}\right)\)，这是个关于 \(U\) 的分段一次函数，可以用动态开点线段树维护每个 \(U\) 的答案。
对于终点全是 \(n+1\) 的子任务直接将询问离线下来倒着枚举关键点，同时维护一个代价从栈顶到栈底递增的单调栈来求出每个点的 \(pre\) 和 \(nxt\)。
每次加入一个点 \(i\) 时，将所有 \(pre\) 为 \(i\) 的位置 \(j\) 之前的贡献去掉，再加上 \((j,pre_j,nxt_j)\) 的贡献，然后加入 \((i,0,nxt_i)\) 的贡献表示当 \(s=i\) 时 \(i\) 找不到 \(pre\) 时 \(i\) 对答案的贡献。
如果终点不固定，则找到询问为 \((s,n+1)\) 时控制 \(c_t\) 的关键点 \(k\)，容易发现 \(c_t-U<c_k\leq c_t\)，那么 \((s,n+1)\) 和 \((k,n+1)\) 两组询问在 \([c_t,c_{n+1})\) 的贡献是相等的，并且 \((k,n+1)\) 在 \([c_k,c_t)\) 的贡献为 \(b_k\cdot(c_t-c_k)\)，所以 \(ans(s,t)=ans(s,n+1)-ans(k,n+1)+b_k\cdot(c_t-c_k)\)，就转化为终点固定的情况了。
时间复杂度：\(O((n+m)\log V)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define int int64_t
const int kMaxN = 2e5 + 5;
int n, m, rt, sgt_cnt;
int a[kMaxN], b[kMaxN], c[kMaxN], ans[kMaxN];
int lg[kMaxN], sta[kMaxN][20], stb[kMaxN][20];
int ls[kMaxN * 60], rs[kMaxN * 60], sum[kMaxN * 60], tag[kMaxN * 60];
std::vector<std::tuple<int, int, int>> qq[kMaxN];
int get(int x, int y) {
return b[x] < b[y] ? x : y;
}
void st_prework() {
lg[0] = -1;
for (int i = 1; i <= n + 1; ++i) {
sta[i][0] = a[i];
stb[i][0] = i;
lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
}
for (int i = 1; i <= lg[n + 1]; ++i) {
for (int j = 1; j <= n + 1 - (1 << i) + 1; ++j) {
sta[j][i] = std::max(sta[j][i - 1], sta[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
stb[j][i] = get(stb[j][i - 1], stb[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
}
}
int querya(int l, int r) {
int k = lg[r - l + 1];
return std::max(sta[l][k], sta[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int queryb(int l, int r) {
int k = lg[r - l + 1];
return get(stb[l][k], stb[r - (1 << k) + 1][k]);
}
void prework() {
st_prework();
}
void update(int &x, int l, int r, int ql, int qr, int v) {
if (l > qr || r < ql) return;
if (!x) x = ++sgt_cnt;
sum[x] += 1ll * v * (std::min(r, qr) - std::max(l, ql) + 1);
if (l >= ql && r <= qr) return void(tag[x] += v);
int mid = (l + r) >> 1;
update(ls[x], l, mid, ql, qr, v), update(rs[x], mid + 1, r, ql, qr, v);
}
int query(int x, int l, int r, int ql, int qr) {
if (!x || l > qr || r < ql) return 0;
else if (l >= ql && r <= qr) return sum[x];
int mid = (l + r) >> 1;
return query(ls[x], l, mid, ql, qr) + query(rs[x], mid + 1, r, ql, qr) + 1ll * tag[x] * (std::min(r, qr) - std::max(l, ql) + 1);
}
int res[kMaxN];
void upd(int l, int r, int k, int b, int v) {
l = std::max<int>(l, 0), r = std::min<int>(r, 1e8);
if (l > r || !k && !b) return;
// std::cerr << l << ' ' << r << ' ' << k << ' ' << b << ' ' << v << '\n';
update(rt, 0, 1e8, l, l, (k * l + b) * v);
update(rt, 0, 1e8, l + 1, r, k * v);
update(rt, 0, 1e8, r + 1, r + 1, -(k * r + b) * v);
// for (int i = l; i <= r; ++i) res[i] += v * (k * i + b);
}
void work(int x, int pre, int nxt, int v) {
assert(x > pre && x < nxt);
std::vector<int> vec = {0, c[nxt] - c[x]};
if (pre) vec.emplace_back(c[nxt] - c[pre]), vec.emplace_back(c[x] - c[pre]);
else vec.emplace_back(1e8 + 1);
std::sort(vec.begin(), vec.end());
vec.erase(std::unique(vec.begin(), vec.end()), vec.end());
for (int i = 0; i + 1 < (int)vec.size(); ++i) {
int l = vec[i], r = vec[i + 1] - 1, k = 0, b = 0;
if (c[x] + l <= c[nxt] && c[x] + r <= c[nxt]) ++k, b += c[x];
else b += c[nxt];
if (c[x] >= c[pre] + l && c[x] >= c[pre] + r) b -= c[x];
else --k, b -= c[pre];
upd(l, r, k, b, v * ::b[x]);
}
// for (int u = 0; u <= 1e3; ++u) {
// if (std::max(c[i], c[pre] + u) < std::min(c[i] + u, c[nxt]))
// res[u] += v * b[i] * (std::min(c[i] + u, c[nxt]) - std::max(c[i], c[pre] + u));
// }
}
void getans() {
static int top, stk[kMaxN], nxt[kMaxN];
stk[top = 1] = n + 1;
c[0] = -1e9;
for (int i = n; i; --i) {
for (; top && b[stk[top]] >= b[i]; --top) {
work(stk[top], 0, nxt[stk[top]], -1);
work(stk[top], i, nxt[stk[top]], 1);
}
nxt[i] = stk[top];
stk[++top] = i;
work(i, 0, nxt[i], 1);
for (auto [id, u, v] : qq[i]) ans[id] += v * query(rt, 0, 1e8, 0, u);
// for (auto [id, u, v] : qq[i]) ans[id] += v * res[u];
}
}
void dickdreamer() {
std::cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
std::cin >> a[i];
c[i + 1] = c[i] + a[i];
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
std::cin >> b[i];
prework();
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int s, t, u;
std::cin >> s >> t >> u;
if (querya(s, t - 1) > u) {
ans[i] = -1;
continue;
}
int p = std::max(s, std::upper_bound(c + 1, c + 2 + n, c[t] - u) - c), k = queryb(p, t);
ans[i] = b[k] * (c[t] - c[k]);
qq[s].emplace_back(i, u, 1), qq[k].emplace_back(i, u, -1);
}
getans();
for (int i = 1; i <= m; ++i) std::cout << ans[i] << '\n';
}
int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
int T = 1;
// std::cin >> T;
while (T--) dickdreamer();
// std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
return 0;
}
