CF1842G Tenzing and Random Operations 题解

Description

有一长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 和一整数 \(v\)，对该序列进行 \(m\) 次操作。

每次操作中，等概率地随机选择一整数 \(i \in [1, n]\)，对所有的 \(j \in [i, n]\)，赋值 \(a_j \gets a_j+v\)，求出 \(m\) 次操作后 \(\Pi_{i=1}^n a_i\) 的期望值，对 \(10^9+7\) 取模。

数据范围：\(0\leq n \leq 5000\)，\(1 \leq m, v \leq10^9\)，\(a_i \in [1, 10^9] \cap \mathbb{Z}\)。

Solution

设 \(b_i\) 表示第 \(i\) 次操作随机选择的数，那么答案形如：

\[\prod_{i=1}^{n}{\left(a_i+\sum_{j=1}^{m}{\left[b_j\leq i\right]v}\right)} \]

这个东西显然是可以拆开的，最终答案一定形如一些 \(a_i\) 的乘积和某些 \([b_j\leq i]v\) 的乘积。

假设 \([b_j\leq i]v\) 选的下标是 \(i_1<i_2<\ldots<i_k\)，如果 \(b_j>i_1\)，则乘积为 \(0\)，没有贡献。否则一定有贡献，所以选的 \(b_j\) 只需要满足 \(b_j\) 不超过第一个选 \(j\) 的下标即可。

这样就可以 dp 了。

设 \(f_{i,j}\) 表示 \([1,i]\) 的前缀，目前已经选好了 \(j\) 的 \(b_k\) 的位置。如果这一位选了 \(a_i\)，则 \(f_{i,j}\leftarrow a_if_{i-1,j}\)。如果这一位选了之前选过的 \(b_k\)，则 \(f_{i,j}\leftarrow jvf_{i-1,j}\)。如果这一位选了一个新的 \(b_k\)，则 \(f_{i,j+1}\leftarrow (m-j)iv\cdot f_{i-1,j}\)，这里的 \(i\) 是从 \([1,i]\) 中选一个作为 \(b_k\) 的方案数。

最终答案即为 \(\sum \frac{f_{n,i}n^{m-i}}{n^m}\)。

时间复杂度：\(O(n^2)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
 
// #define int int64_t
 
const int kMaxN = 5e3 + 5, kMod = 1e9 + 7;
 
int n, m, v;
int a[kMaxN], f[kMaxN][kMaxN];
 
constexpr int qpow(int bs, int64_t idx = kMod - 2) {
  int ret = 1;
  for (; idx; idx >>= 1, bs = (int64_t)bs * bs % kMod)
    if (idx & 1)
      ret = (int64_t)ret * bs % kMod;
  return ret;
}
 
inline int add(int x, int y) { return (x + y >= kMod ? x + y - kMod : x + y); }
inline int sub(int x, int y) { return (x >= y ? x - y : x - y + kMod); }
inline void inc(int &x, int y) { (x += y) >= kMod ? x -= kMod : x; }
inline void dec(int &x, int y) { (x -= y) < 0 ? x += kMod : x; }
 
void dickdreamer() {
  std::cin >> n >> m >> v;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) std::cin >> a[i];
  f[0][0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = 0; j <= std::min(n, m); ++j) {
      inc(f[i][j], 1ll * a[i] * f[i - 1][j] % kMod);
      inc(f[i][j], 1ll * j * v % kMod * f[i - 1][j] % kMod);
      inc(f[i][j + 1], 1ll * (m - j) * i % kMod * v % kMod * f[i - 1][j] % kMod);
    }
  }
  int ans = 0;
  for (int i = 0; i <= std::min(n, m); ++i)
    inc(ans, 1ll * f[n][i] * qpow(n, m - i) % kMod);
  std::cout << 1ll * ans * qpow(qpow(n), m) % kMod << '\n';
}
 
int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
  freopen("in.txt", "r", stdin);
  freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
  std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
  int T = 1;
  // std::cin >> T;
  while (T--) dickdreamer();
  // std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
  return 0;
}