CF605E Intergalaxy Trips 题解

合集 - IOI2020 国家集训队作业 题解(30)

1.CF505E Mr. Kitayuta vs. Bamboos 题解2024-07-042.CF506E Mr. Kitayuta's Gift 题解2024-07-223.CF512D Fox And Travelling 题解2024-07-224.CF516D Drazil and Morning Exercise 题解2024-02-085.CF516E Drazil and His Happy Friends 题解2024-07-236.CF521D Shop 题解2024-07-237.CF521E Cycling City 题解2024-07-238.CF527E Data Center Drama 题解2024-07-249.CF547D Mike and Fish 题解2024-07-2410.CF559E Gerald and Path 题解2024-07-2511.CF568C New Language 题解2024-07-2512.CF576D Flights for Regular Customers 题解2024-07-2613.CF578E Walking! 题解2024-07-2614.CF585F Digits of Number Pi 题解2024-07-26

15.CF605E Intergalaxy Trips 题解2024-07-27

16.CF613E Puzzle Lover 题解2024-07-2717.CF626G Raffles 题解2024-07-2818.CF526G Spiders Evil Plan 题解2024-07-2819.CF538G Berserk Robot 题解2024-07-2920.CF538H Summer Dichotomy 题解2024-07-3021.CF553E Kyoya and Train 题解2024-08-0122.CF566C Logistical Questions 题解2024-08-0223.CF566E Restoring Map 题解2024-08-0424.CF568E Longest Increasing Subsequence 题解2024-08-0625.CF571E Geometric Progressions 题解2024-08-0626.CF573E Bear and Bowling 题解2024-08-0627.CF578F Mirror Box 题解2024-08-2228.[AGC038E] Gachapon 题解02-1929.CF666E Forensic Examination 题解02-2030.CF671E Organizing a Race 题解02-24

收起

Description

• $n$ 个点的有向完全图。
• $i\to j$ 的边每天出现的概率均为 $p_{i,j}$，若 $i=j$，有 $p_{i,j}=1$。
• 每天可以选择一条存在的出边走过去或停留在原地不动。
• 求最优策略下从 $1$ 到 $n$ 的期望天数。
• $n\le {10}^3$。

Solution

设 $f_i$ 表示 $i$ 到 $n$ 的期望天数。

假设 $f$ 已经求出，那么 $i$ 每次走到的下一步 $j$ 一定是满足 $i\to j$ 这条边出现且 $f_j$ 最小的点。

容易发现如果 $f_j>f_i$ 则 $i$ 下一步无论如何不会走到 $j$。

所以可以得出转移方程：

$$f_i=\sum _{f_j<f_i}{p}_{i,j}{f}_j\prod _{f_k<f_j}(1-p_{i,k})+f_i\prod _{f_j<f_i}(1-p_{i,j})+1$$

移项可得：

$$f_i=\frac{\sum _{f_j<f_i}{p}_{i,j}{f}_j\prod _{f_k<f_j}(1-p_{i,k})}{1-\prod _{f_j<f_i}(1-p_{i,j})}$$

考虑已经确定了前 $k$ 小的 $f$ 值，如何求出第 $k+1$ 小的编号。

注意到只考虑前 $k$ 小的贡献，对于一个没确定的 $i$，再计算一个 $f_j<f_i$ 对 $i$ 贡献后 $f_i$ 一定不会变大，所以如果当前 $f_i<f_j$，则 $i$ 一定不会在 $j$ 后面，否则 $f_i$ 计算 $f_j$ 的贡献后只会更小，与 $i$ 在 $j$ 后矛盾。

所以第 $k+1$ 小的编号就是只考虑前 $k$ 小的贡献的没确定的位置里 $f$ 值最小的编号。

时间复杂度：$O(n^2)$。

Code