CF1361E James and the Chase 题解

Description

给定一个有 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向强连通图。称一个点是好的当且仅当它到其他点都有且只有一条简单路径。如果好的点至少有 \(20\%\) 则输出所有好的点，否则输出 -1。

单个测试点内有多组数据。
\(1\leq T\leq 2\times 10^3,1\leq n\leq 10^5,1\leq m\leq 2\times 10^5,\sum n\leq 10^5,\sum m\leq 2\times 10^5\)。

Solution

考虑如何判断一个点是否是好的。

先以一个点 \(x\) 为根建出 dfs 树，如果建不出来显然不合法，并且如果一条非树边不是返祖边，就说明存在横叉边，显然不合法。

容易发现满足上面的两个条件就一定合法，但是这样做单次是 \(O(n)\) 的，过不了。

先不妨假设 \(x\) 是好点，那么对于一个点 \(y\)，如果他是好点，就说明其子树里有且仅有 \(1\) 条返祖边其祖先为 \(y\) 的祖先，设其为 \(z\to w\)。

然后有一个性质：如果 \(y\) 是好点当且仅当 \(w\) 是好点。

证明：

如果 \(y\) 是好点，由于 \(w\to y\) 只有一条路径，所以 \(w\to y\) 的子树的路径都有且仅有一条，并且 \(y\) 要出 \(w\) 的子树就必须经过 \(w\)，由于 \(y\to w\) 子树外的点的路径都是唯一的，所以 \(w\to w\) 子树外的点的路径也是唯一的，所以 \(w\) 是好点。

如果 \(w\) 是好点，由于 \(w\) 到所有点路径唯一且 \(y\) 出 \(w\) 子树必须经过 \(w\)，所以 \(y\) 也是好点。

所以先找到一个为好点的 \(x\)，然后做树上差分对于每个 \(y\) 求出 \(w\) 用并查集合并即可。

然后对于每个好点就一定和 \(x\) 在同一并查集，否则无论如何也到不了 \(x\)。

至于找 \(x\)，就每次随机一个点做 \(100\) 次，失败的概率是 \(\left(\frac{4}{5}\right)^{100}\)，非常小。

时间复杂度：\(O\left(100(n+m)\right)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>

// #define int int64_t

const int kMaxN = 1e5 + 5;

int n, m, fl = 1;
int cnt[kMaxN], sum[kMaxN], fa[kMaxN];
bool ins[kMaxN], vis[kMaxN];
std::vector<int> G[kMaxN];

int find(int x) { return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]); }

void unionn(int x, int y) {
  int fx = find(x), fy = find(y);
  if (fx != fy) fa[fx] = fy;
}

void dfs1(int u) {
  vis[u] = ins[u] = 1;
  for (auto v : G[u]) {
    if (!vis[v]) {
      dfs1(v);
    } else {
      if (!ins[v]) fl = 0;
      else ++cnt[u], --cnt[v], sum[u] += v, sum[v] -= v;
    }
  }
  ins[u] = 0;
}

void dfs2(int u) {
  ins[u] = 1;
  for (auto v : G[u]) {
    if (!ins[v]) {
      dfs2(v);
      cnt[u] += cnt[v], sum[u] += sum[v];
    } else {
    }
  }
  ins[u] = 0;
}

void dickdreamer() {
  std::cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) G[i].clear();
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int u, v;
    std::cin >> u >> v;
    G[u].emplace_back(v);
  }
  std::vector<int> vec;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) vec.emplace_back(i);
  std::shuffle(vec.begin(), vec.end(), std::mt19937(std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count()));
  for (int i = 0; i < std::min(100, (int)vec.size()); ++i) {
    int x = vec[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      fa[i] = i;
      cnt[i] = sum[i] = ins[i] = vis[i] = 0;
    }
    fl = 1, dfs1(x);
    if (!fl) continue;
    std::fill_n(ins + 1, n, 0);
    dfs2(x);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      if (cnt[i] == 1) {
        unionn(i, sum[i]);
      }
    }
    std::vector<int> idx;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
      if (find(i) == find(x))
        idx.emplace_back(i);
    if (idx.size() >= (n + 4) / 5) {
      for (auto u : idx) std::cout << u << ' ';
      std::cout << '\n';
    } else {
      std::cout << "-1\n";
    }
    return;
  }
  std::cout << "-1\n";
}

int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
  freopen("in.txt", "r", stdin);
  freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
  std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
  int T = 1;
  std::cin >> T;
  while (T--) dickdreamer();
  // std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
  return 0;
}