CF1844E Great Grids 题解

Description

定义一个矩形 \(a\) 是好的，当且仅当其满足以下条件：

1. 矩形中每一个元素 \(x\) 都为 \(A,B,C\) 其中之一
2. 每一个 \(2\times 2\) 的子矩形都必须包含三个不同的字符
3. 共用一条边的两个元素不相等

给定 \(k\) 个限制条件，限制条件分为两类：

1. \((x,x+1,y,y+1)\)，限制 \(a[x,y]= a[x+1,y+1]\)
2. \((x,x+1,y,y-1)\)，限制 \(a[x,y]= a[x+1,y-1]\)

求满足所有条件的矩形是否存在。

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Solution

先不考虑限制条件，思考一个 \(2\times 2\) 的子矩形怎样才能包含三个不同的字符。

不妨设左上角为 \(0\)，那么这个子矩形一定长这样：

\[\begin{bmatrix} 0\ \ 1\\ 1\ \ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\ \ 2\\ 2\ \ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\ \ 1\\ 2\ \ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\ \ 2\\ 1\ \ 0 \end{bmatrix} \]

观察到左上角+右下角=右上角+左下角，所以 \(a_{x,y}+a_{x+1,y+1}=a_{x,y+1}+a_{x+1,y}\)，得到：\(a_{x,y+1}-a_{x,y}=a_{x+1,y+1}-a_{x+1}{y}\) 且 \(a_{x+1,y}-a_{x,y}=a_{x+1,y+1}-a_{x,y+1}\)。

所以每行和每列的差都相等，设 \(b_{x}=a_{x+1,y}-a_{x,y},c_{y}=a_{x,y+1}-a_{x,y}\)。

由于相邻的不能相等，所以 \(b_x\) 和 \(c_y\) 只能为 \(1,2\)。

---

然后考虑那个限制条件。

对于限制 1，会发现 \(a_{x,y}=a_{x+1,y},a_{x+1,y}\neq a_{x,y+1}\neq a_{x,y}\)，所以 \(b_x\neq c_y\)。

对于限制 2，满足 \(a_{x,y+1}=a_{x+1,y},a_{x,y}\neq a_{x+1,y+1}\neq a_{x,y+1}\)，所以 \(b_x= c_y\)。

容易发现存在 \(b,c\) 数组满足所有的条件，就是原题能构造出矩形的充要条件。

然后跑二分图染色即可。

时间复杂度：\(O(n+m+k)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>

// #define int int64_t

const int kMaxK = 4e3 + 5;

int n, m, k;
bool fl;
int col[kMaxK], xx[kMaxK], yx[kMaxK], xy[kMaxK], yy[kMaxK];
std::vector<std::pair<int, int>> G[kMaxK];

void dfs(int u) {
  for (auto [v, w] : G[u]) {
    if (~col[v] && col[v] != (col[u] ^ w)) {
      fl = 0;
    } else if (!~col[v]) {
      col[v] = col[u] ^ w;
      dfs(v);
    }
  }
}

void dickdreamer() {
  std::cin >> n >> m >> k;
  for (int i = 1; i <= n + m; ++i) {
    G[i].clear();
    col[i] = -1;
  }
  for (int i = 1; i <= k; ++i) {
    std::cin >> xx[i] >> yx[i] >> xy[i] >> yy[i];
    if (yy[i] == yx[i] - 1) {
      G[xx[i]].emplace_back(yy[i] + n, 0);
      G[yy[i] + n].emplace_back(xx[i], 0);
    } else {
      G[xx[i]].emplace_back(yx[i] + n, 1);
      G[yx[i] + n].emplace_back(xx[i], 1);
    }
  }
  fl = 1;
  for (int i = 1; i <= n + m; ++i)
    if (!~col[i]) col[i] = 0, dfs(i);
  std::cout << (fl ? "YES\n" : "NO\n");
}

int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
  freopen("in.txt", "r", stdin);
  freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
  std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
  int T = 1;
  std::cin >> T;
  while (T--) dickdreamer();
  // std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
  return 0;
}