CF1712F Triameter 题解

Description

你有一棵有 \(n\) 个点的树，树上的每条边权值都为 \(1\)。现在有 \(q\) 次询问，每次询问一个整数 \(x\)，并将叶子结点全部相连上权值为 \(x\) 的边（操作不会保留）。问每次操作后图的直径是多少。图的直径定义为 \(\underset{1\leq u<v\leq n}{\max}d(u,v)\)。

\(3\leq n\leq 10^6,1\leq q\leq 10\)。

Solution

考虑转化一下 \(d(u,v)\)。

设 \(h_i\) 表示 \(i\) 到叶子节点的最短距离，那么 \(d(u,v)\) 就等于 \(\min\left\{\text{dist}(u,v),h_u+h_v+x\right\}\)。

然后枚举一下 \(u\) 和 \(v\) 的 \(\text{LCA}\)，设它为 \(k\)。那么 \(d(u,v)=\min\left\{\text{dep}_u+\text{dep}_v-2\times \text{dep}_k,h_u+h_v+x\right\}\)。

如果当前的答案为 \(ans\)，\(d(u,v)\) 只有 \(\text{dep}_u+\text{dep}_v-2\times \text{dep}_k>ans\) 且 \(h_u+h_v+x>ans\) 时 \(ans\) 才可被更新。

设 \(M_{i,j}\) 表示 \(i\) 子树里面 \(h_{x}\) 为 \(j\) 的最大的 \(\text{dep}_x\)。

由于 \(i\) 的子树里面不可能 \(d\) 全都大于 \(d_i\)，因为一定有 \(0\)，并且相邻的两个点 \(d\) 值相差不超过 \(1\)，所以 \(0\sim d_i\) 都会在 \(i\) 的子树里面出现，那么 \(M_{i,j}\geq M_{i,j+1}\)。

然后对于 \(k\) 的两个个儿子 \(a\) 和 \(b\)，它们子树里如果存在能让 \(ans\) 更新的点对，说明存在 \(i,j\)，使得 \(i+j+x>ans\) 且 \(M_{a,i}+M_{b,j}-2\times\text{dep}_k>ans\)。

移项就得出 \(M_{a,i}+M_{b,\max(ans-x-i+1,0)}-2\times \text{dep}_k>ans\)。

容易发现 \(M_{i,j}\) 不为 \(0\) 说明 \(j\) 不超过 \(i\) 这个子树里面的长链长度，所以直接长剖优化即可。

时间复杂度：\(O(nq)\)，常数很大。

Code

#include <bits/stdc++.h>

// #define int int64_t

const int kMaxN = 1e6 + 5;

int n, ans, x;
int d[kMaxN], dep[kMaxN];
std::vector<int> G[kMaxN], f[kMaxN];

void dfs1(int u, int fa) {
  dep[u] = dep[fa] + 1;
  if (G[u].size() != 1) d[u] = 1e9;
  for (auto v : G[u]) {
    if (v == fa) continue;
    dfs1(v, u);
    d[u] = std::min(d[u], d[v] + 1);
  }
}

void dfs2(int u, int fa) {
  for (auto v : G[u]) {
    if (v == fa) continue;
    d[v] = std::min(d[v], d[u] + 1);
    dfs2(v, u);
  }
}

void merge(int u, int v) {
  for (int i = 0; i < static_cast<int>(f[v].size()); ++i) {
    for (;;) {
      int j = std::max(ans - x - i + 1, 0);
      if (j < static_cast<int>(f[u].size()) && f[v][i] + f[u][j] - 2 * dep[u] > ans) ++ans;
      else break;
    }
  }
  for (int i = 0; i < static_cast<int>(f[v].size()); ++i)
    f[u][i] = std::max(f[u][i], f[v][i]);
}

void dfs3(int u, int fa) {
  int mxid = 0;
  for (auto v : G[u]) {
    if (v == fa) continue;
    dfs3(v, u);
    if (f[v].size() > f[mxid].size()) mxid = v;
  }
  std::swap(f[u], f[mxid]);
  for (auto v : G[u]) {
    if (v == fa || v == mxid) continue;
    merge(u, v);
  }
  for (;;) {
    int i = std::max(ans - x - d[u] + 1, 0);
    if (i < static_cast<int>(f[u].size()) && f[u][i] - dep[u] > ans) ++ans;
    else break;
  }
  if (d[u] == static_cast<int>(f[u].size()))
    f[u].emplace_back(dep[u]);
}

void dickdreamer() {
  std::cin >> n;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    int p;
    std::cin >> p;
    G[p].emplace_back(i), G[i].emplace_back(p);
  }
  dfs1(1, 0), dfs2(1, 0);
  int q;
  std::cin >> q;
  for (; q; --q) {
    std::cin >> x;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      f[i].clear(), f[i].shrink_to_fit();
    }
    ans = 0;
    dfs3(1, 0);
    std::cout << ans << ' ';
  }
}

int32_t main() {
#ifdef ORZXKR
  freopen("in.txt", "r", stdin);
  freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
  std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
  int T = 1;
  // std::cin >> T;
  while (T--) dickdreamer();
  // std::cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "s\n";
  return 0;
}