莫比乌斯反演学习笔记

数论函数

定义：定义域是正整数，值域是复数的函数。

狄利克雷卷积

1. 定义：

$$\begin{array}{rl}(f\ast g)(n)=& \sum _{d|n,d\in \mathbb{N}}f(d)\cdot g({\displaystyle \frac{n}{d}})\\ =& \sum _{d|n,d\in \mathbb{N}}f({\displaystyle \frac{n}{d}})\cdot g(d)\end{array}$$

常用的数论函数

1. 单位函数：

$$\epsilon (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& \text{其它}\end{array}$$

2. 幂函数：

$$I{d}_k(n)=n^k$$

• 当 $k=1$ 时，$I{d}_k(n)$ 可以表示为 $Id(n)$。
• 当 $k=0$ 时，$I{d}_k(n)$ 可以表示为 $I(n)$。

3. 除数函数：

$${\sigma }_k(n)=\sum _{d|n}{d}^k$$

4. 欧拉函数

$$\phi (n)=n\cdot \prod _{i=1}^k{\displaystyle \frac{p_i-1}{p_i}}$$

积性函数

1. 定义：积性函数是指对于所有互质的正整数 $a,b$，都有 $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ 的数论函数。
   另：完全积性函数指任意两个正整数 $a,b$，都有 $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ 的数论函数。

2. 性质：若 $f$ 是一个积性函数，那么 $f(1)=1$。

狄利克雷卷积的常用定理

1. 若 $f,g$ 都是积性函数，那么 $f\ast g$ 也是积性函数。
2. 交换律：$f\ast g=g\ast f$
3. 结合律：$(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$
4. 分配律：$f\ast (g+h)=f\ast g+f\ast h$

常用的特殊狄利克雷卷积

1. $I{d}_k\ast I={\sigma }_k$
2. $\phi \ast I=Id$
3. $I\ast I=\sigma$

狄利克雷逆

1. 单位元：乘上单位元后不改变结果的数值。
2. 狄利克雷卷积中的单位元：$\epsilon$。
3. 狄利克雷逆：

• 定义：若函数 $f\ast g=\epsilon$，就称 $f$ 和 $g$ 互为狄利克雷逆。
• 函数 $f$ 的狄利克雷逆表示为 $f^{-1}$。
• 一个数论函数 $f$ 存在狄利克雷逆的充分必要条件是：$f(1)\ne 0$，且函数 $f$ 若存在狄利克雷逆，则 $f^{-1}$ 是唯一的。
• 积性函数一定存在狄利克雷逆。

莫比乌斯反演公式

1. 莫比乌斯函数

• 定义：莫比乌斯函数 $\mu$ 为常数函数 $I$ 的狄利克雷逆。

$$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ (-1{)}^k& n=\prod _{i=1}^k{p}_i{p}_i\in \mathbb{prime}\\ 0& \text{其它}\end{array}$$

2. 莫比乌斯反演公式

• $g=f\ast I⟺f=g\ast \mu$
• $g(n)=\sum _{d|n}f(d)⟺f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)\cdot g(\frac{n}{d})$
• $g(n)=\sum _{n|N}f(N)⟺f(n)=\sum _{n|N}g(N)\cdot \mu (\frac{N}{n})$