ABC232 部分题目题解

• A

不讲，代码。

• B

挨个判断每一位需要做多少次即可，$O(|S|)$。

代码。

• C

题目已经给你判断相同图的方法了，注意到 $n\le 8$ 所以直接阶乘枚举编号即可，$O(n^2\cdot n!)$。

代码。

• D

典型的标数法。

设 $f[i][j]$ 表示从 $(1,1)$ 走到 $(i,j)$ 中经过的最多的空方块个数。若无法走到则 $f[i][j]$ 设为 $-1$。

初始化：处理出第一行和第一列，如果当前格为障碍，则其再往右或往下均为 $-1$。

状态转移：
如果 $f[i-1][j]$ 和 $f[i][j-1]$ 均为 $-1$ 或者 $(i,j)$ 本身就是障碍，则 $f[i][j]$ 也应设为 $-1$。

否则，取 $f[i-1][j]$ 和 $f[i][j-1]$ 中的那个不是 $-1$ 的转移，不妨设 $f[i-1][j]\ne -1$，则 $f[i][j]=f[i-1][j]+1$。

时间复杂度：$O(nm)$。

代码。

• E

假设一矩阵 $M_k$ 表示車从 $(x1,y1)$ 出发后移动 $k$ 步后到每一个格子的方法种数。

易知：

$$M_0=\left[\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& \cdots 1\cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right]$$

且 $M_k$ 中的 $(i,j)$ 上的数即为 $M_{k-1}$ 中第 $i$ 行 与第 $j$ 列上所有数的和（不算 $(i,j)$）。

可以发现一个事实：对于任意 $M_k$，第 $x1$ 行上的数（不算 $(i,j)$） 全部相同，第 $y1$ 列上的数（不算 $(i,j)$） 全部相同，其余所有的数也全部相同。

那么可以设：

$$M_k=\left[\begin{array}{ccccc}d& d& \cdots b& \cdots d& \\ d& d& \cdots b& \cdots d& \\ ⋮& ⋮& \cdots ⋮& \cdots ⋮& \\ c& c& \cdots a& \cdots c& \\ d& d& \cdots b& \cdots d& \\ ⋮& ⋮& \cdots ⋮& \cdots ⋮& \\ d& d& \cdots b& \cdots d& \end{array}\right]$$

则可得出递推式子：

$$\{\begin{array}{l}a=(n-1)b_0+(m-1)c_0\\ b=a_0+(n-2)b_0+(m-1)d_0\\ c=a_0+(m-2)c_0+(n-1)d_0\\ d=b_0+c_0+(n+m-4)d_0\end{array}$$

复杂度 $O(k)$，可以过，代码。

优化

这个式子显然可以矩阵递推。

设 $A_k=\left[\begin{array}{c}a,b,c,d\end{array}\right]$。

$$A_k=A_{k-1}\ast \left[\begin{array}{cccc}0& n-1& m-1& 0\\ 1& n-2& 0& m-1\\ 1& 0& m-2& n-1\\ 0& 1& 1& n+m-4\end{array}\right]$$

那么就可以 $O(\log k)$ 了。