2017 Multi-University Training Contest - Team 2 TrickGCD（组合数学）

题目大意：

给你一个序列An，然后求有多少个序列Bn

满足Bi<=Ai，且这个序列的gcd不为1

 

题解：

考虑这样做

枚举一个因子k，然后求出有多少个序列的gcd包含这个因子k

然后把结果容斥一下，我们会发现，这个容斥恰好就是求莫比乌斯函数

所以直接先预处理出来即可

于是k从2到n依次枚举，然后把结果乘以u(k)加到最后的答案里。

 

另一个问题是，如何快速求出有多少个序列呢，如果单纯的把每个数除以k然后加起来，就是n^2logn

显然会超时。

所以这里先把数存起来，然后整体来做

对于k来说，每次就枚举k,2k,3k.....m*k，然后可以得到，能包含k的数有多少个，2k的数有多少个，那么我们就可以在n/k的复杂度下统计出来有多少个序列

然后枚举k，最后就是n+n/2+...n/k = nlogn的复杂度了

（可能有更好的做法）

 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 100;
const int MOD = 1000000007;
typedef long long LL;
LL minpri[maxn], H[maxn], a[maxn], ans[maxn], flag[maxn];
vector<int> prime;
const int maxlen=maxn;
int mu[maxlen],prinum[maxlen], len=0;
void CalPri(){
    int num[maxlen];
    for(int i=2;i<maxlen;i++)num[i]=i;
    for(int i=2;i<maxlen;i++){
        if(num[i]==0)continue;
        prinum[len++]=i;
        mu[i]=-1;
        for(int j=2*i;j<maxlen;j+=i)
            num[j]=0;
    }
}
void Calmu(){
    CalPri();
    mu[1]=1;
    for(int i=2;2*i<=maxlen;i++){
        for(int j=0;j<len&&prinum[j]*i<maxlen;j++){
            if(i%prinum[j]==0){
                mu[prinum[j]*i]=0;
                break;
            }
            mu[prinum[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
}

LL mypow(LL a, LL b){
    LL ANS = 1;
    for(; b; b >>= 1){ if(b&1) (ANS *= a) %= MOD; (a *= a) %= MOD; } return ANS;
}

int main()
{
    int T, n;
    cin>>T;
    Calmu();
    for(int ncase = 1; ncase <= T; ncase++){
        scanf("%d", &n);
        memset(H, 0, sizeof(H));
        memset(ans, 0, sizeof(ans));
        LL ANS = 0, Max = 0, Min = 1e9;
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), H[a[i]]++, Max = max(Max, a[i]), Min = min(Min, a[i]);
        for(int i = Max; i >= 0; i--) H[i] += H[i+1];
        //for(int i = 1; i <= Max; i++) cout<<H[i]<<" "; cout<<endl;
        for(int x = 2; x <= Min; x++){
            if(mu[x] == 0) continue;
            int tot = 0, lans = n;
            for(int i = 1; i*x <= Max; i++){
                ans[tot] = lans - H[i*x];
                lans = H[i*x];
                tot++;
            }
            ans[tot] = lans;
            //for(int i = 1; i <= tot; i++) cout<<ans[i]<<" "; cout<<endl;
            LL temp = tot > 0 ? 1 : 0;
            for(int i = 2; i <= tot; i++) (temp *= mypow(i, ans[i])) %= MOD;
            (ANS += temp*(-mu[x])) %= MOD;
            for(int i = 1; i <= tot; i++) ans[i] = 0;
        }
        (ANS += MOD) %= MOD;
        cout<<"Case #"<<ncase<<": "<<ANS<<endl;
    }
    return 0;
}