【算法学习】算法时间复杂度
时间复杂度简单计算（一层、两层、多层循环）
相当于轨迹追踪法：设执行次数为k，按照循环条件
阿布算法课
01 区别算法(Algorithm)和程序(Program)
| 算法 | 程序 |
|---|---|
| 设计阶段 | 实施阶段 |
| 相关领域知识 | 程序员 |
| 任何语言、伪代码 | 编程语言 |
| 独立于硬件/操作系统 | 与硬件/操作系统有关 |
| 算法分析 | 程序测试 |
02 事前分析和事后测试
| 事前分析 | 事后测试 |
|---|---|
| 算法 | 程序 |
| 独立于语言 | 有赖于语言 |
| 独立于硬件/操作系统 | 与硬件/操作系统有关 |
| 时间/空间 复杂度函数 | 运行时间/占用字节 |
03 算法的性质
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一个或多个输入
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至少有一个输出
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可定义性
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高效性
04 算法的表示和分析
怎么表示一个算法：需要看得懂，没有固定形式（伪代码）
如何分析一个算法？
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Time：时间消耗
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Space：内存消耗
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N/W：数据传输和网络消耗
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Power：能耗
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CPU Registers：占用CPU多少寄存器(底层驱动、操作系统)
时间复杂度分析 
时间复杂度函数 f(n) = 3
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算法时间复杂度分析，不需要考虑每个陈述语句形式。
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算法时间复杂度看的是常数操作总次数
05 频数分析法求时间间复杂度
一层循环 
两层循环 
多层循环 
06 轨迹追踪法求时间复杂度
设执行次数为k，按照循环条件，得出执行次数k与问题规模n的关系，从而得时间复杂度 
07 时间复杂度分析示例
logn为小数，执行次数要向上取整
常见for循环时间复杂度总结：
08 while循环、if条件的时间复杂度分析
由于while循环可以和for循环相互转换，while循环实际上和for循环分析方法一样
if 语句分析时间复杂度可能有最坏、最好情况
09 时间复杂度的分类
10 函数复杂度的比较和分析
增长速度：常<对<幂<指数
11函数的渐近符号
上界有很多，尽量使用最接近的那个上界表示f(n)
当下界有很多时，尽量使用最接近的那个下界表示f(n)
平均界只有一种表示方式表示f(n)
最好、最坏、平均情况的时间复杂度
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算法的时间复杂度，会随着排序集合的有序性而改变。我们需要分析不同算法在不同数据下的表现
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最好时间复杂度：在完全有序的情况下的时间复杂度
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最坏时间复杂度：在最坏情况下的时间复杂度
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平均复杂度：平均情况下的时间复杂度
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注意：并不是最坏时间复杂度就用O(n)，最好情况就是\Omega(n)，平均情况就是\theta(n)，O()，\Omega()，\theta()只是表示函数渐近的符号，都可以使用任何情况的时间复杂度衡量上。
最好、最坏、平均情况时间复杂度分析
线性搜索
二叉搜索树（二叉排序树）（二分搜索）
12深入学习函数渐近符号
阶乘形式的f(n)没有精确的平均界表示，只能通过上、下界表示
logn! = O(nlogn) = Ω(1)
13 渐近符号的性质
14 函数的比较
15 递归算法的时间复杂度
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整个递归算法的时间复杂度函数用 T(n)表示
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如何求得递归算法得时间复杂度函数T(n)：
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递归追踪树，求得T(n)表达式
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由T(n)的递推关系，推导出T(n)
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根据master公式得出T(n)的渐近表示
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例1
例2
追踪递归树求T(n)
递归推导求T(n)
常见T(n)递归关系对应的时间复杂度
16 master公式
减法的master公式
Masters Theorem Decreasing Function
除法的master公式
Masters Theorem in Algorithms for Dividing Function 
左神求递归复杂度:（以上的p=0的情况）
N^d*logN 即 N^dlogN
其中:
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T(N) 是问题规模为 N 时递归算法的时间复杂度
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a(a>0)是子问题数量，子问题的规模相同，每一个子问题约耗时 T(N/b)
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b 是问题规模缩减的程度,通常 b > 1
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O(n^d) 是非递归部分的时间复杂度,通常较低阶
