关于树上k级祖先

关于 \(Level\ Ancestor\) 问题（树上 \(k\) 级祖先）的 \(\infty\) 种求法：

\(\large\texttt{Warning:}\) 此篇博客其实是对 \(Luogu\ P5903\) 题解区中一些方法的汇总梳理，并不是本人原创！！！

• 树上倍增法：

  主要思路：通过倍增的思想，存下 \(x\) 的 \(2^i\) 级祖先，在查询时将 \(k\) 进行二进制分解，分解为 \(\displaystyle\sum^t_{i=1}2^{a_t}\) 次方的形式，再每次向上跳 \(2^{a_t}\) 步，跳完 \(t\) 次后就得到了 \(x\) 的 \(k\) 级祖先。

  时间复杂度：\(\cal{O((n+q)\log_2n)}\)

  空间复杂度：\(\cal{O(n\log_2n)}\)

• 轻重链剖分法：

  主要思路：进行轻重链剖分，在查询时判断当前点 \(x\) 所在的重链顶点是否在其 \(k\) 级祖先上放。若不在其上方，则将 \(x\) 跳至链顶的父亲节点，并让 \(k\) 减去这一段的长度，并继续处理。否则则利用求出的 \(\texttt{dfs}\) 序直接计算。

  时间复杂度：\(\cal{O(n-q\log_2n)}\)

  空间复杂度：\(\cal{O(n)}\)

• 轻重链剖分法 + 树上倍增法:

  主要思路：在轻重链剖分法的基础上，利用倍增预先处理出向上跳 \(2^i\) 次能到达的节点，就可以优化时间复杂度了。

  时间复杂度：\(\cal{O(n\log_2\log_2 n - q\log_2\log_2 n)}\)

  空间复杂度：\(\cal{O(n\log_2\log_2 n)}\)

• 长链剖分（咕咕咕）

咕咕咕