康托展开（计算字符串排列组合的算法）

1.康托展开（转载）

　　康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。
　　这个公式可能看着让人头大，最好举个例子来说明一下。例如，有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度，也就是4，所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？
a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素，所以 a4 = 3。
a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1。
a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0。
a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）
所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20

A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5

通过康托逆展开生成全排列

　　如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？
　　因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai，如下图所示：

知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D"，s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B"，s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A"，s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C"，所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
这样我们就能写出一个函数 Permutation3()，它可以返回  s 的第 m 个排列。

前面的内容从http://archive.cnblogs.com/a/2026276/转载。

代码如下：

#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<vector>  
#include<cstdlib>  
using namespace std;  
class cantor{  
public:  
    int n;//字符串的长度  
    string s;  
    int pos;//字符串在全排列中的字典位置，从0开始  
    vector<int>num;//所有的字符  
    cantor(string s):s(s){n=s.size();}  
    cantor(int n,int pos):n(n),pos(pos){  
        int i;  
        for(i=0;i<n;i++)  
            num.push_back(i);  
    }  
    int fac(int);  
    void encode();  
    void decode();  
      
};  
int cantor::fac(int num){  
    if(num==0) return 1;  
        else return num*fac(num-1);  
}  
void cantor::encode(){  
    int i,j,count;  
    vector<int>vec(n);  
    for(i=0;i<n;i++){  
        count=0;  
        for(j=i;j<n;j++)  
            if(s[i]>s[j]) count++;     
        vec[n-i-1]=count;  
                }  
    pos=0;  
    for(i=0;i<s.size();i++)  
        pos+=vec[i]*fac(i);   
}  
void cantor::decode(){  
    int i;  
    div_t divresult;  
    for(i=n-1;i>=0;i--){  
        divresult=div(pos,fac(i));求余数与除数  
        s.push_back(num[divresult.quot]+'0');  
        num.erase(num.begin()+divresult.quot);  
        pos=divresult.rem;  
            }  
}  
int main(){  
    cantor test(4,2);  
    test.decode();  
    cout<<test.s<<endl;  
}  

　　其中，div_t的功能：函数返回参数numerator/denominator的商和余数。

　　结构体div_t定义在stdlib.h中，包含以下内容：

　　int quot;  //商数

      int rem;  //余数

      例如，以下代码显示x/y的商和余数：

      div_t temp;

      temp=div(x,y);

      printf("%d 除以%d等于%d余数%d\n",temp,quot,temp,rem);

2.我排第几个

描述

现在有"abcdefghijkl”12个字符，将其所有的排列中按字典序排列，给出任意一种排列，说出这个排列在所有的排列中是第几小的？

输入

第一行有一个整数n（0<n<=10000）;
随后有n行，每行是一个排列；

输出

输出一个整数m，占一行，m表示排列是第几位；

样例输入

3
abcdefghijkl
hgebkflacdji
gfkedhjblcia

样例输出

1
302715242
260726926

 

/*

题意：

    给定一个由 a 到 l的不重复出现的字符串字符串，求该字符串按照字典序排列的所有序列中是第几小的

题解：

    康托展开。。。。。http://zh.wikipedia.org/zh/康托展开

    康托展开是一个双射，即不仅可以求是第几小，而且可以根据是第几小求出该排列

*/
#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int MAX = 12;

int fac[MAX + 1];

void cal()      //计算阶乘的

{

    fac[0] = 1;

    for(int i = 1; i <= MAX-1; ++i)

        fac[i] = fac[i-1] * i;

}

int main()

{

    int T;

    char s[MAX + 1];

    cal();

    cin >> T;

    while(T--)

    {

        cin >> s;

        int len = strlen(s);

        long long ans = 0;

        for(int i = 0; i < len-1; ++i)

        {

            int count = 0;

            for(int j = i + 1; j <= len-1; ++j)

                if(s[i] > s[j])

                    ++count;

            ans += count * fac[len - i - 1];

        }

        cout << ans + 1 << endl;

    }

   // while(1);

    return 0;

}