SRM练习题550Point解析之一：Lottery彩票

    本文是解析Top Coder的SRM练习题550Point系列的第一篇，Lottery彩票。

    问题描述是全英文的，由于英文水平有限，所以发了不少时间才完全看明白。本人觉得Top Coder的题目挺有趣的，激发着我的智慧去解决它。在这个过程中，自己解决实际问题的能力得到了提升，而且算法能力、编程基础也得到了巩固、加强。在此与大家一起分享，一起成长。

      TopCoder竞赛介绍http://www.wyu.cc/viewthread.php?tid=53252

    由于未授权，问题描述不能在此贴出，十分遗憾！获得原题请登录TopCoder： Practice Room —1 SRMs—1-16—1 SRM 144 DIV1

解析：解决本题主要有两点：第一，如何把问题转化为数学模型，然后用数学知识解答；第二，应用多关键字排序的算法。

一、  转化为数学模型

       首先，从最简单的情况入手，第一种规则[10，2，F，F]表示此类彩票由任意两个1-10的数字组成，不需要按升序排序（任意序列），也可以出现相同的数字，如{1，2}，{10，5}，{4，4}都是有效的彩票。这是最简单的一种情况，按照排列的数学知识可以知道，这种规则彩票的有效个数是10*10=100个。更一般的规则为[max，count，F，F]，有效个数为max的count次幂个，即max ^count。代码实现如下：

Int64 result=(Int64)Math.Pow(max, count);//数据很大,有可能超过32位

 

       第二种规则[10，2，F，T]表示此类彩票由任意两个1-10的数字组成，数字系列任意排序，但是不能出现重复的。如{3，3}是无效的彩票，按照排列的知识可以知道，此类彩票的个数是10*9=90个。更一般的规则为[max，count，F，F]，有效个数为max*(max-1)*…*(max-count+1)个。代码实现如下：

 Int64 result = 1;
2 for (int i = max; i >= max - count + 1; i--) {
3     result *= i;
4 }

 

       第三种规则[10，2，T，F]表示此类彩票由任意两个1-10的数字组成，但是数字系列必须是按升序排序，可以重复出现。我们可以知道当第一个数字为1时，第二个数字可以是1-10，这10个数字；当第一个数字为2时，第二个数字可以是2-10，这9个数字，由此可以推出，当第一个数字为10时，第二个数字只可以为10，这1个数字。那么所有的符合规则有效的彩票个数为10+9+8+7+6+5+4+3+2+1个。

如果可以输入的数字为3个，即[10，3，T，F]时，同样的，当第一个数字为1时，后面的两个数字同[10，2，T，F]一样，有10+9+…+1种情形；当第1个数字为2时，后面的两个数字有9+8+…+1种情形。整个数学模型如下：

2个数字：     10+ 9 + 8 + 7 +6 + 5 +4 + 3 + 2 + 1

3个数字：（10+9+…+1）+（9+8+…+1）+（7+6+…+1）+…+（2+1）+1  

4个数字：（（10+9+…1）+（9+8+…+1）+…+1）+（（9+8+…+1）+…+1）+…+1

…                  …             …

一般的[max，count，T，F]时为，领头的最大数字为max。

可以看出每种情况都是由10个单元相加组成的和，而且当数字增加一个的时候，每个单元的值都是前一种情况下，它本身及其后面所有单元的和，这就是一种典型的迭代，代码实现如下：

 1          Int64[] data = new Int64[max];
 2            int temp=max;
 3            //初始化
 4            for (int i = 0; i < max; i++) {
 5                data[i] = temp;
 6                temp--;
 7            }
 8            for (int i = 0; i < count-2; i++) {
 9                Int64 data_j;
10                for (int j = 0; j < max-1; j++) {
11                    data_j = 0;
12                    for (int k = j; k <max; k++) {
13                        data_j += data[k];
14                    }
15                    data[j] = data_j;
16                }
17            }
18            Int64 result = 0;
19            for (int i = 0; i < max; i++) {
20                result += data[i];
21            }

       第四种规则[10，2，T，T]表示此类彩票由任意两个1-10的数字组成，但是数字系列必须是按升序排序，而且不可以重复出现。我们可以知道当第一个数字为1时，第二个数字必须是2-10，这9个数字；当第一个数字为2时，第二个数字必须是3-10，这8个数字。同理可知符合规则有效的彩票个数为

9+8+7+6+5+4+3+2+1个。

如果可以输入的数字为3个，即[10，3，T，T]时，同样的有效的个数为

（8+7+6+5+4+3+2+1）+（7+6+5+4+3+2+1）+…+1

一般的[max，count，T，T]时为领头的最大数字为max-count+1。代码实现同第三种规则。

二、  多关键字排序

       实现多关键字排序，有两种方法：第一种是，先对最主要的关键字排序，再对有相同最主要关键字值的子序列进行次关键字排序，依此类推，此方法称为Most Significant Digit First (MSD)法；第二种是，先对最次要的关键字进行全体排序，再对次要的关键字进行全体排序，依此类推，此方法称为最Least Significant Digit First （LSD）法。

       MSD法和LSD法只是约定了“关键字的次序”来排序，但并未约定对每一个关键字使用的排序方法（如快速排序，插入排序等）。MSD与LSD法的实现区别是：MSD法根据关键字次序对序列逐层进行分割成若干个子序列，再对子序列进行排序；LSD法不必分割成子序列，对每个关键字都是整个序列参加排序，但必须是稳定排序。

MSD的代码实现方法：

 1        /**//// <summary>
 2        /// 信息结构
 3        /// </summary>
 4        struct InformationStruct {
 5            public int key1;
 6            public int key2;
 7            public string data;
 8        }
 9        /**//// <summary>
10        /// 实现 IComparer<T>接口
11        /// </summary>
12        class InformationComparer : IComparer<InformationStruct> {
13            IComparer 成员#region IComparer<InformationStruct> 成员
14
15            public int Compare(InformationStruct x, InformationStruct y) {
16                if (x.key1 < y.key1) {
17                    return -1;
18                }
19                else if (x.key1 == y.key1) {
20                    if (x.key2 < y.key2) {
21                        return -1;
22                    }
23                    else if (x.key2 == y.key2) {
24                        return 0;
25                    }
26                    else {
27                        return 1;
28                    }
29                }
30                else {
31                    return 1;
32                }
33            }
34
35            #endregion
36        }
37
38        /**//// <summary>
39        /// 使用Array.Sort方法实现MSD排序
40        /// </summary>
41            //定义集合
42            InformationStruct[] informations = new InformationStruct[8];
43           //初始化集合
44            Random random = new Random();
45            for (int i = 0; i < 8; i++) {
46                informations[i] = new InformationStruct();
47                informations[i].key1 = random.Next(1, 8);
48                informations[i].key2 = random.Next(1, 100);
49                informations[i].data = "data" + i.ToString();
50            }
51           //排序
52           Array.Sort(informations, new InformationComparer());

 

LSD的代码实现方法：

由于在.NET类库中未找到现成的稳定排序算法，所以打算模仿Array.Sort使用的快速排序法，实现一个比较规范的稳定排序算法。等写完后，再来补充此实现。

三、  常用的FCL框架类库

       String类的Split方法

           返回由指定的字符或字符串数组分割此String实例而得到的子字符串数组。

       Array类的Sort方法

          此方法使用QuickSort快速排序算法，是不稳定排序算法。

       条件运算符xxx?xxx:xxx

            无嵌套if...else语句，使用条件运算符来代替还是比较简洁的。说真的，非常少用。

      伪随机数生成器Random类

            随机数的生成是从种子值开始，即构造函数的参数。建议只创建一个实例。如果重复创建默认实例，有可能产生相同的值，而非随机数。 

 四、 完整代码（略）

      感觉整个贴出来太啰嗦了，o(∩_∩)o...