笔记：纸牌均分问题

基本问题（均分纸牌）

有 \(n\) 个小朋友坐成一排，每人有 \(a_i\) 个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为 \(1\)，求使所有人获得均等糖果的最小代价。

先抛出式子：

\[设c_i = \lvert{ \sum_{j = 1}^i{a_j} - i * avg \vert} \ , \ W = \sum_{i = 1}^n{c_i} \]

证明：

首先第\(i\)个小孩一定是向第\(i + 1\)个小孩那里索取或传递糖果，设交换值为 \(p_i\)。

目标是使所有人手中的糖果数量为平均值(\(avg\))，那么经过\(n - 1\)轮交换后，得出式子：

\[a_1 - p_1 = avg \]

\[a_2 + p_1 - p_2 = avg \]

\[a_3 + p_2 - p_3 = avg \]

\[…… \]

\[a_n + p_{n - 1} = avg \]

以第\(i\)项为例，将\(p_i\)移到等式左边，其他移到等式右边。

\[p_i = p_{i - 1} + a_i - avg \]

拆开\(p_{i - 1}\)得（这一步跳得大一点）：

\[p_i = \sum_{j = 1}^i{a_j} - i * avg \]

总代价就是所有交换的数量和（注意一次只能交换一）：

\[W = \sum_{i = 1}^n{|p_i|} \]

证毕。

环形纸牌均分（糖果传递）

有 \(n\) 个小朋友坐成一圈，每人有 \(a_i\)个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为 \(1\)，求使所有人获得均等糖果的最小代价。

与纸牌均分问题相比，变化的是首项和末项。

所有变量的意义和上一个问题相同。

首项：\(a_1 + p_n - p_1 = avg\)
中间项：\(a_i + p_{i - 1} - p_i = avg\)
末项：\(a_n + p_{n - 1} - p_n = avg\)

目标还是所有交换值（\(p_i\)）之和。

这里需要一个技巧：将所有的\(p_1\)作为一个单独的变量。

接下来的 \(p_2 \ 到 \ p_n\) 可以表示为：

\[p_2 = a_2 - avg + p_1 \]

\[p_3 = (a_2 - avg) + (a_3 - avg) + p_1 \]

\[…… \]

设： $$c_i = \sum_{j = 2}^i{a_j} - i * avg \ , \ c1 = 0$$

则 \(p_1 = c_1 + p_1 \ , \ p_2 = c_2 + p_1 \ , ……\)
答案即： $$W = \sum_{i = 1}^n{|c_i + p_1|}$$

证毕。问题这个 \(p_1\) 是多少呢？

这个式子可以继续变化：$$W = \sum_{i = 1}^n{|c_i - ( -p_1 )|}$$

这样就是标准的货仓选址问题了。
货舱选址中的最佳位置就是数轴上的点集位置中的中位数。

第一个小朋友可以传递的糖果数是任意整数个，只要使\(p_1\)取所有\(c_i\)的中位数就可以让传递代价最小。

所以解决的方案就是先预处理出所有的 \(c_i\) ，然后取中位数，遍历一遍 \(c\) 计算结果。

总结

所有有关均值变换和选址问题且距离最短的，都可以在这个规律上变换式子解决问题。

重要的是能够灵活的运用中位数。

例题

供参考的例题：

均分纸牌
糖果传递
货舱选址
七夕祭