Acwing 100. 增减序列

差分，推导

计数类的区间修改一定要考虑用差分

给定一个长度为 \(n\) 的数列 \(a1,a2,…,an\)，每次可以选择一个区间 \([l,r]\)，使下标在这个区间内的数都加一或者都减一。

首先确定差分的方法，然后你会发现：当数组中所有元素相等时，\(b_2 = b_3 = ... = b_n\)。

在差分数组中，若要使区间 \([l,r]\) 加 \(k\)，则\(b_{l-1} + k , \ b_r - k\)。

这样题目就变成了：给你一个数组\(b\)，每次改变数组中的一对元素（任意一对），只能加一或减一（另一个数操作与之相反），使\(b_2 = b_3 = ... = b_n\)。

*推导

以下的数组都是指差分数组\(b\)，都在\(b\)中实现。

因为要一加一减，那么就需要正负数配合完成。但是有时候会剩下一些数，那么可以通过更改它和\(b_1或b_{n+1}\)来实现，也就是最后一定可以达到理想状态。

设\(p等于所有正数的绝对值，q等于所有负数的绝对值\)，其中可以同时消去的操作有\(min(p,q)\)，剩下的操作有\(|p-q|\)，那么答案其实就是\(min(p,q)+|p-q|=max(p,q)\)。

那么有多少种情况呢？，其实同时消去的操作已经最简，并且无法消去，那么只能在剩下的操作中下手，若剩下的数字总数（其实就是操作次数）为\(z\)，每次操作两种选择，但是无论怎么修改\(b_{n+1}\)，对原数组的值都没有影响，但\(b_1\)是会受到影响的，所以操作之后，\(b_1\)的取值范围是$ b_1 ≤ b_1' ≤ b_1 + z$，那么可取的值有 \(z + 1\) 种，也就是\(|p-q| + 1\)。

问题迎刃而解！当然代码很简单。

AC code

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+10;
int a[N], b[N];

int main()
{
    int n; cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];
    b[1] = a[1];
    for(int i = 2; i <= n; i ++ ) b[i] = a[i] - a[i - 1];
    
    ll p = 0, q = 0; // 正数，负数
    for(int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if(b[i] > 0) p += b[i];
        if(b[i] < 0) q += -b[i];
    }
    cout << max(p, q) << endl << abs(p - q) + 1;
    
    return 0;
}