Codeforces 1701F. Points (2500)

给定两个正整数 \(q,d\)，定义三元组 \((i,j,k)\) 满足 \(i<j<k\bigcap k-i\le d\) 为美丽三元组，现在有一个空集和 \(q\) 组询问，每次给定一个正整数 \(x\)，若 \(x\) 不在集合，那么将 \(x\) 加入集合，若 \(x\) 在集合中，那么将 \(x\) 从集合中删除，每次询问计算集合中美丽三元组的个数。
\(1\le q,d,x\le 2\cdot 10^5\)。

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考虑对每个三元组以 \(i\) 计数，令 \([i+1,i+d]\) 中出现的数的个数为 \(k_i\)，则对答案的贡献为 \(\binom{k_i}{2}\)。

那么考虑添加\(/\)删除对答案以及 \(k_i\) 的影响。

添加 \(x\) 后，对答案的贡献一种是作为 \(i\)，还有一种是作为 \(j,k(\)可以一起统计\()\)。作为 \(i\) 的贡献显然是 \(\binom{k_x}{2}\)，作为 \(j,k\) 的贡献是 \(\sum\limits_{i=x-d}^{x-1} k_i\)，显然可以用线段树维护 \(k_i\) 的区间和。

对 \(k_i\) 的影响则是 \(\forall i\in [x-d,x-1],k_i\leftarrow k_i-1\)，也就是区间减操作。

同理，删除也可用线段树维护。

总时间复杂度 \(O(q\log V)\)，\(V\) 是值域大小。

\(\color{blue}{\text{code}}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int V=2e5+5;
int n,d,x,add[V<<2];bool vis[V];
ll ans,sum[V<<2],psum[V<<2],insum[V<<2];
inline void pushup(int x){
	psum[x]=psum[x<<1]+psum[x<<1|1];
	sum[x]=sum[x<<1]+sum[x<<1|1];
	insum[x]=insum[x<<1]+insum[x<<1|1];
}
inline void pushdown(int x,int l,int r){
	if(!add[x])return;int mid=l+r>>1,v=add[x];
	add[x<<1]+=v,add[x<<1|1]+=v;
	sum[x<<1]+=(ll)v*psum[x<<1],sum[x<<1|1]+=(ll)v*psum[x<<1|1];
	insum[x<<1]+=(ll)v*(mid-l+1),insum[x<<1|1]+=(ll)v*(r-mid);
	add[x]=0;
}
inline void update(int x,int l,int r,int L,int R,int v){
	if(L>R)return;
	if(L<=l&&R>=r){add[x]+=v,sum[x]+=(ll)v*psum[x],insum[x]+=(ll)v*(r-l+1);return;}
	int mid=l+r>>1;pushdown(x,l,r);
	if(L<=mid)update(x<<1,l,mid,L,R,v);
	if(R>mid)update(x<<1|1,mid+1,r,L,R,v);
	pushup(x);
}
inline void modify(int x,int l,int r,int y,int v){
	if(l==r){psum[x]+=v,sum[x]=v>0?insum[x]:0;return;}
	int mid=l+r>>1;pushdown(x,l,r);
	y<=mid?modify(x<<1,l,mid,y,v):modify(x<<1|1,mid+1,r,y,v);
	pushup(x);
}
inline int queryN(int x,int l,int r,int L,int R){
	if(L>R)return 0;
	if(L<=l&&R>=r)return psum[x];
	int mid=l+r>>1,ans=0;pushdown(x,l,r);
	if(L<=mid)ans=queryN(x<<1,l,mid,L,R);
	if(R>mid)ans+=queryN(x<<1|1,mid+1,r,L,R);
	return ans;
}
inline ll queryV(int x,int l,int r,int L,int R){
	if(L>R)return 0;
	if(L<=l&&R>=r)return sum[x];
	int mid=l+r>>1;ll ans=0;pushdown(x,l,r);
	if(L<=mid)ans=queryV(x<<1,l,mid,L,R);
	if(R>mid)ans+=queryV(x<<1|1,mid+1,r,L,R);
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&d);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%d",&x);
		if(!vis[x]){
			ans+=queryV(1,1,V,max(1,x-d),x-1);
			update(1,1,V,max(1,x-d),x-1,1);
			int num=queryN(1,1,V,x+1,min(x+d,V));
			ans+=(ll)num*(num-1)/2;
			modify(1,1,V,x,1);
		}else{
			update(1,1,V,max(1,x-d),x-1,-1);
			ans-=queryV(1,1,V,max(1,x-d),x-1);
			int num=queryN(1,1,V,x+1,min(x+d,V));
			ans-=(ll)num*(num-1)/2;
			modify(1,1,V,x,-1);
		}
		vis[x]^=1,printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}