Codeforces 1697F. Too Many Constraints (2800)

给定 $n,m,k$，任务是构造出一个长度为 $n$，值域为 $[1,k]$ 的单调不减数组 $a$，满足给定的 $m$ 条限制（分为 $3$ 种）：
$\text{Type 1:}$ $a_i\neq x$。
$\text{Type 2:}$ $a_i+a_j\leq x$。
$\text{Type 3:}$ $a_i+a_j\geq x$。
$1\le n,m\le 2\cdot 10^4,1\le k\le 10,2\le x\le 2\cdot k$。

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简单 $\text{two-sat}$ 题。

数据范围中 $k\le 10$，值域很小，考虑拆点。
考虑将数组中的每个数拆成 $\le 1,\le 2,\ldots,\le k,>1,>2,\ldots,>k$。

记 $(i,j,0)$ 为表示满足 $a_i\le j$ 的点，$(i,j,1)$ 为表示满足 $a_i> j$ 的点。

• 根据定义，若 $a_i\le j$，则 $a_i\le j+1$，所以增加限制 $(i,j,0)\&(i,j+1,0)$。
• 根据定义，若 $a_i> j$，则 $a_i> j-1$，所以增加限制 $(i,j,1)\&(i,j-1,1)$。
• 根据单调不减的条件，若 $a_i>j$，则 $a_{i+1}\ge a_i> j$，所以增加限制 $(i,j,1)\&(i+1,j,1)$。
• 对于第一种限制，$a_i$ 要么 $\le x-1$，要么 $>x$，所以增加限制 $(i,x-1,0)\&(i,x,1)$。
• 对于第二种限制，若 $a_i\le t$，则 $a_j\le x-t$，所以枚举 $t$，然后增加限制 $(i,t,0)\&(j,x-t,0)$。
• 对于第三种限制，若 $a_i> t$，则 $a_j> x-t-2$，所以枚举 $t$，然后增加限制 $(i,t,1)\&(j,x-t-2,1)$。

最后跑一遍 $\text{two-sat}$ 求出答案。

总时间复杂度 $O(nk)$。

双倍经验加强版题面 $\color{gold}{\text{Topcoder SRM Div1, LV3 NeverAskHerAge}}$。