Codeforces Round #791 (Div. 2) E, F 题题解 (2400,2600)

$\mathbb{E}$

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$，由前 $k$ 个小写字母和 $\texttt{?}$ 组成。
有 $q$ 次询问，给出一个前 $k$ 个小写字母的子集 $t$，问将 $s$ 中的所有 $\texttt{?}$ 替换成 $t$ 中的任意一个字符的所有方案，$s$ 包含的所有可以本质相同的回文字串的个数的和，答案对 $998244353$ 取模。
$1\le n\le 10^3,1\le q\le 2\cdot 10^5,1\le k\le 17$。

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随便做。

考虑回文串中的两个对称位置 $i,j$，有四种情况：

• $s_i=s_j=\texttt{?}$：贡献为 $|t|$。
• $s_i=\texttt{?},s_j\neq \texttt{?}$：贡献为 $[s_j\in t]$。
• $s_i\neq \texttt{?},s_j=\texttt{?}$：贡献为 $[s_i\in t]$。
• $s_i\neq \texttt{?},s_j\neq \texttt{?}$：贡献为 $[s_i=s_j]$。

那么区间 $\text{dp}$ 出每个区间的贡献，每个贡献形如 $|t|^{p}\times [S\in t]$，于是高维前缀和即可。

总时间复杂度 $O(n^2+2^{17}\times 17^{2})$。

$\color{blue}{\text{code}}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1005,mod=998244353;
int n,S,q,sum[N],P[18][N],pw[N][N],zero[N][N],sta[N][N],f[1<<17][18];
char s[N],t[N];
int main(){
	scanf("%d%s",&n,s+1);
	for(int i=1;i<=n;++i)sum[i]=sum[i-1]+(s[i]=='?');
	for(int L=1;L<=17;++L){
		P[L][0]=1;
		for(int i=1;i<=n;++i)
			P[L][i]=(ll)P[L][i-1]*L%mod;
	}
	for(int t=1;t<=n;++t)
		for(int i=1;i<=n-t+1;++i){
			int j=i+t-1;
			zero[i][j]=zero[i+1][j-1];
			pw[i][j]=pw[i+1][j-1];
			sta[i][j]=sta[i+1][j-1];
			if(s[i]=='?'&&s[j]=='?')++pw[i][j];
			else if(s[i]!='?'&&s[j]!='?')zero[i][j]|=s[i]!=s[j];
			else sta[i][j]|=(s[i]!='?'?(1<<s[i]-'a'):(1<<s[j]-'a'));
			if(!zero[i][j])
				for(int L=1;L<=17;++L)
					(f[sta[i][j]][L]+=P[L][pw[i][j]+sum[n]-(sum[j]-sum[i-1])])%=mod;
		}
	for(int i=0;i<17;++i)
		for(int j=0;j<1<<17;++j)if(j>>i&1)
			for(int k=1;k<=17;++k)(f[j][k]+=f[j^(1<<i)][k])%=mod;
	for(scanf("%d",&q);q--;){
		scanf("%s",t+1),S=0;
		for(int i=1;i<=strlen(t+1);++i)S|=1<<t[i]-'a';
		printf("%d\n",f[S][strlen(t+1)]);
	}
	return 0;
}

$\mathbb{F}$

给出正整数 $n$，所有不足 $n$ 位（十进制）的数用前导零补充。
给出 $m$ 组无序数对 $(u_i,v_i)$，若一个数字的相邻两位数 $x,y$ 满足 $(x,y)$ 存在于这 $m$ 组数对中，则可以交换 $x,y$ 的位置。若 $A$ 可以通过若干次（包含零次）交换得到 $B$，则认为 $A$ 和 $B$ 是等价的。
求出最大整数 $k$，使得存在一组非负整数 $x_1,x_2,\ldots,x_k(0\leq x_i<10^n)$ 满足对于任意 $1\leq i<j\leq k$，$x_i$ 与 $x_j$ 不等价。

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更简单，不知道为何能放到 $\text{F}$ 的位置，标签竟有 $2600$。

考虑 $10^n$ 个数中形成若干等价类，要求的就是等价类的数量。对于一个等价类，考虑用其字典序最小的元素描述它。

如何保证字典序最小呢？字典序最小等价于不能再通过操作使得字典序更小，形式化地，设字典序最小的数为 $\overline{d_1d_2\ldots d_n}_{10}$，不能找出 $d_j$ 使得 $d_j$ 与 $d_i,d_{i+1},\ldots, d_{j-1}$ 都可以交换并且 $d_j<d_i$。

于是可以从低位到高位状压 $\text{dp}$，同时维护状态 $s$，表示能从后面移动到当前位置的数字集合，每次重新求 $s$ 时间复杂度不对，那么进行预处理，$g_{s,i}$ 表示现在的集合为 $s$，在前面加入 $i$ 后新的 $s$，然后进行 $\text{dp}$，转移时不能使得后面能交换到当前位置的数字比当前填的数字小。

总时间复杂度 $O(n\times 2^{10}\times 10)$。

$\color{blue}{\text{code}}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,m,ans,f[50005][1024],g[1024][10],G[10][10];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m),f[0][0]=1;
	for(int i=1,x,y;i<=m;++i)scanf("%d%d",&x,&y),G[x][y]=G[y][x]=1;
	for(int s=0;s<1024;++s)
		for(int i=0;i<=9;++i){
			g[s][i]=1<<i;
			for(int t=0;t<=9;++t)
				if(G[i][t]&&(s>>t&1))
					if(i<t){g[s][i]=-1;break;}
					else g[s][i]|=1<<t;
		}
	for(int i=0;i<n;++i)
		for(int s=0;s<1024;++s)if(f[i][s])
			for(int j=0;j<10;++j)if(~g[s][j])
				(f[i+1][g[s][j]]+=f[i][s])%=mod;
	for(int s=0;s<1024;++s)(ans+=f[n][s])%=mod;
	return printf("%d\n",ans),0;
}