dp深入与进阶(2)：特殊的dp优化:斜率优化(无例题解析版)

斜率优化

$01.$应用范围:$f_i=min/max(a_i\times b_j+c_i+d_j)$这类递推方程式的时间优化

$02.$前置推导:

对于$f_i=mi{n}_j(a_i\times b_j+c_i+d_j)$

其中满足$b$单调递增

假设一值$j_1$在$dp$中的作用优于$j_2$

则有:

$a_i\times b_{j_2}+d_{j_2}\ge a_i\times b_{j_1}+d_{j_1}$

可得到:

$a_i\le \frac{(-d_{j_1})-(-d_{j_2})}{b_{j_1}-b_{j_2}}$

在平面直角坐标系中 令$x_j=b_j$，$y_j=-d_j$

则$k(j_1,j_2)=\frac{(-d_{j_1})-(-d_{j_2})}{b_{j_1}-b_{j_2}}$

显然可知$a_i\le k(j_1,j_2)$时,始终满足$j_1$的函数值优于$j_2$

从而得到结论:

对于坐标系中横坐标单调递增的$j_1$和$j_2$

当$a_i\le k(j_1,j_2)$时$,f(j_1)$ 优于 $f(j_2)$

反之,有$f(j_2)$ 优于 $f(j_1)$

$03.$定理雏形证明:

重要定理:对于三个点 A, B, C,假设横坐标递增,且$k(A,B)>k(B,C)$,可以证明:$B$的函数值一定不最优

证明:(不考虑$a=k$)

为了方便叙述,令$k_1=k(A,B),k_2=k(B,C)$

初始图:

1.假设$a<k_2<k_1:$

如图,有$f(A)>f(B)>f(C)$

2.假设$k_2<a<k_1:$

如图有$f(A)>f(B)$且$f(C)>f(B)$

3.假设$k_2<k_1<a:$

如图有$f(C)>f(B)>f(A)$

可以发现:无论何种情况，$B$点一直不是最优的点,所以$dp$过程中可以不考虑$B$点

由此得证

从几何意义上看:如果在建好的的坐标系中发现“上凸包”（“凸包”如上图所示）,则凸包的顶点一定不是最优点

$04.$ 斜率优化的定义:

$dp$中忽略所有“上凸包”,优化时间复杂度的优化办法,这样的优化方法即为斜率优化

显然,一个没有上凸包的图$k$值一定是单调递减的

所以优化时可以维护一个单调递减的队列来实现

05.一种可行的代码写法

// 计算两点之间的斜率
int slope(int j, int k) 
{
    int x = (f[j] - f[k] + s[j] * s[j] - s[k] * s[k]) / (s[j] + s[k]);
    return x;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) 
{
  while (L < R && slope(q[L], q[L + 1]) <= s[i]) L++; // 维护下凸包
    dp[i] = dp[q[L]] + (s[i] - s[q[L]]) * (s[i] - s[q[L]]) + m; // 更新dp值
  while (L < R && slope(q[R - 1], q[R]) > slope(q[R], i)) R--; // 剔除无效点
    q[++R] = i; // 将当前点加入队列
}

最后扔两道例题在这里,下一篇文章或下下篇文章会进行进一步解析

例$1:P3195$

例$2:P2900$