dp深入与进阶(1):线性dp+区间dp(2025.01.24)

01.线性dp(多维状态定义)

Luogu P1136 [迎接仪式]

根据题面考虑不交换${}^{\prime }{j}^{\prime }{,}^{\prime }{z}^{\prime }$ 而是对$j,z$“取反”

设置状态$f(i,j,p,b)：$

前 $i$ 个字符进行$j$次字符${}^{\prime }{j}^{\prime }$的取反,

$p$次字符${}^{\prime }{z}^{\prime }$的取反,

$b$取$0$或$1$：$0$指当前位为${}^{\prime }{j}^{\prime }$,$1$指当前位为${}^{\prime }{z}^{\prime }$

$f$为该条件下的最大价值

初始状态:$f(0,0,0,1)=0$,利用性质:${}^{\prime }{z}^{\prime }$+${}^{\prime }z/j^{\prime }$不满足条件)

讨论:

$01.$对于$f(i,j,p,0)$

$i.$若该位置原本为${}^{\prime }{z}^{\prime }$,通过修改后变为${}^{\prime }{j}^{\prime }$:

$f(i,j,p,0)=max(f(i-1,j,p-1,1),f(i-1,j,p-1,0))$

$ii.$若该位置原本就为${}^{\prime }{j}^{\prime }$:

$f(i,j,p,0)=max(f(i-1,j,p,0),f(i-1,j,p,1))$

$02.$对于$f(i,j,p,1)$

$i.$若原来位置为${}^{\prime }{j}^{\prime }$,通过修改后变为${}^{\prime }{z}^{\prime }$：

$f(i,j,p,1)=max(f(i-1,j-1,p,0)+1,f(i-1,j-1,p,1))$

$ii.$若该位置原本就为${}^{\prime }{z}^{\prime }$：

$f(i,j,p,1)=max(f(i-1,j,p,0)+1,f(i-1,j,p,1))$

暴力$O(n{k}^2)dp$即可

02.区间dp

i.Luogu P1063[能量项链]：

原题求一条长度为$n$的环的合并最大价值

可以将两条长度为$n$的链相连,形成长为$2n$的链

如此便将环的问题转化为了链上的区间dp问题

考虑定义$f(i,j)$为$[i,j]$区间合并产生的最大能量

对于$f(i,j):$

有区间$dp$方程$f(i,j)=ma{x}_{k\in [i,j]}(f(i,k)+f(k+1,j)+hea{d}_i\times tai{l}_k\times tai{l}_j)$

初始状态定义为$f(i,i)=0,i\in [1,n]$

最后用for循环枚举k,区间dp即可

核心代码:

for(int len=1;len<n;++len)//枚举区间[i,j]的长度 
  for(int i=1,j=i+len;i+len<=2*n;++i,++j)//枚举起始点i和区间结尾j
    for(int k=i;k<j;++k)//枚举中转点 
      f[i][j]=max(f[i][k]+f[k+1][j]+head[i]*tail[k]*tail[j],f[i][j]);//区间dp：能合并就尝试合并
 
for(int i=1;i<=n;++i)
  ans=max(ans,f[i][i+n-1]);

ii.Luogu P1005 [矩阵取数游戏]:

考虑定义$f(i,l,r)$表示对于 单行(第$i$行) 内剩下$[l,r]$区间时的最大得分和

考虑对于剩余区间$[l,r]$两种获得方法:

01.上一步取$a[l-1]$,有:

$f(i,l,r)=f(i,l-1,r)+a[i][l-1]\ast 2^{m-(r-l+1)}$

02.上一步取$a[r+1]$,有:

$f(i,l,r)=f(i,l,r+1)+a[i][r+1]\ast a^{m-(r-l+1)}$

暴力枚举$i,l,r$,最后开高精度求取答案即可

核心代码:

for(int i=1;i<=n;++i)
  for(int l=1;l<=m;++l)
    for(int r=m;r>=l;--r)//枚举区间[l,r]
      f[i][l][r]=max(f[i][l-1][r]+1ll*a[i][l-1]*(1<<(m-(r-l+1)))/*要么是在选走l-1后变为[l,r]的区间*/,f[i][l][r+1]+1ll*a[i][r+1]*(1<<(m-(r-l+1)))/*要么是在选走r+1后变为[l,r]的区间*/);
 
for(int i=1;i<=n;++i)
{
  for(int l=1;l<=m;++l)
    maxn=max(f[i][l][l]+(1ll<<m)*a[i][l],maxn);
  ans+=maxn;
}