Educational Codeforces Round 173 (Rated for Div. 2)

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总结：翻译插件用不了了，B题题意一直没看懂，C题出思路了好久才写出来，评价为太久没打了。

A. Coin Transformation

tag：模拟

B. Digits

tag：思维

Description：给定两个数\(n, d\)，写成一个数\(ddddd...\)，由\(n!\)个\(d\)拼接而成。判断\(1-9\)中的奇数有哪些数是它的除数。

Solution：\(1\)显然是；当\(n >= 3\)，此时\(n!\)是\(3\)的倍数；当d == 5时，5是；7：当n == 3时，\(111111\)是7的倍数。当\(n>=4\)时，均为\(111111\)的倍数，因此是7的倍数；9和3相同使用数位和判断。

• 长度为x的一连串的数是d的倍数，那么长度为nx的一连串数也一定是d的倍数。

C. Sums on Segments

tag：思维

Description：给定一个数组，里面的元素只有一个元素不是-1或1，其余全是-1或1，求所有不同子数组的和。n <= 1e5。

Solution：先考虑不含特殊数字，那么能够得到的数是一个连续的区间，范围为[min, max]；用特殊数字将其分隔为左右两个区间。

• 包含特殊数字的变化区间为，从该数字往左右两端扩展到最大值和最小值。

void solve(){
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    int idx = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++){
        cin >> a[i];
        if (a[i] != 1 && a[i] != -1){
            idx = i;
        }
    }

    int ri = 0, ra = 0;
    int mi = 0, ma = 0;
    int ans = 0;
    int li = 0, la = 0;
    if (idx != -1){
        for (int i = idx + 1, t = 0; i < n; i ++){
            t += a[i];
            ri = min(ri, t);
            ra = max(ra, t);
        }
        
        for (int i = idx - 1, t = 0; i >= 0; i --){
            t += a[i];
            li = min(li, t);
            la = max(la, t);
        }
    }
    
    int rri = 0, rra = 0;
    int ti = 0, ta = 0;
    for (int i = idx + 1; i < n; i ++){
        ti += a[i];
        ta += a[i];
        if (ti > 0){
            ti = 0;
        }
        if (ta < 0){
            ta = 0;
        }
        rri = min(rri, ti);
        rra = max(rra, ta);
    }

    int lli = 0, lla = 0;
    ti = ta = 0;
    for (int i = idx - 1; i >= 0; i --){
        ti += a[i];
        ta += a[i];
        if (ti > 0){
            ti = 0;
        }
        if (ta < 0){
            ta = 0;
        }
        lli = min(lli, ti);
        lla = max(lla, ta);
    }
    set<int> st;
    for (int i = lli; i <= lla; i ++)
        st.insert(i);
    for (int i = rri; i <= rra; i ++)
        st.insert(i);
    for (int i = li + ri; i <= la + ra; i ++)
        st.insert(i + a[idx]);
    st.insert(0);
    cout << st.size() << endl;
    for (auto i : st){
        cout << i <<  " ";
    }
    cout << endl;

}

D. Problem about GCD

tag：数学

Description：给定三个数l, r, G，需要求出a, b满足l <= a <= b <= r, gcd(a, b) == G，满足|a - b|最大，当有多对答案时，输出a最小的一对，否则输出-1 -1。1 <= l <= r <= 1e18, 1 <= G <= 1e18。

Solution：当G == 1时，等价于找出两个互质的数，两个互质的数之间的差距不会太大，直接暴力枚举即可；当G != 1时，先处于G即可。

trick：两个互质的数之间的差距不会太大，枚举的复杂度大概为\(log^2\)。

void solve(){
    int l, r, g;
    cin >> l >> r >> g;
    l = (l + g - 1) / g;
    r = r / g;

    for (int len = r - l; len >= 0; len --)
        for (int i = l; i + len <= r; i ++){
            int j = i + len;
            if (gcd(i, j) == 1){
                cout << i * g << " " << j * g << endl;
                return;
            }
        }
    
    cout << "-1 -1\n";
}

E. Matrix Transformation

tag：按位思考

Description：给定两个n * m的矩阵a，b，可以对a矩阵执行任意顺序、任意次数的以下两种操作。

• 对第i行的所有元素，按位与上x；
• 对第j列的所有元素，按位或上x；

Solution：将矩阵按位分隔为01矩阵，每一位都是独立的。那么两种操作等价于将一行全变为0，将一列全变为0；

• 为了防止修改原数组，我们反过来操作矩阵b，如果一行全为0或一列全为1则进行标记；注意当一行被标记后，除了该行其余列为1的列需要标记。
• 判断未被标记的元素是否相等即可。

void solve(){
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	vector a(n + 1, vector<int>(m + 1)), b(n + 1, vector<int>(m + 1));

	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		for (int j = 1; j <= m; j ++)
			cin >> a[i][j];
	
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		for (int j = 1; j <= m; j ++)
			cin >> b[i][j];
	
	for (int bit = 0; bit <= 30; bit ++){  // 枚举每一位
		vector<int> row(n + 1), col(m + 1);
		while (1){
			auto trow = row, tcol = col;
			for (int i = 1; i <= n; i ++){
				bool flag = true;  // 每一位是否相同
				for (int j = 1; j <= m; j ++){
					if ((b[i][j] >> bit) & 1 == 1 && tcol[j] == 0){  // 一行全为0
						flag = false;
					}
				}
				if (flag){
					trow[i] = 1;;
				}
			}
	
			for (int i = 1; i <= m; i ++){
				bool flag = true;  
				for (int j = 1; j <= n; j ++){
					if (((b[j][i] >> bit) & 1) == 0 && trow[j] == 0){  // 一列全为1
						flag = false;
					}
				}
				if (flag){
					tcol[i] = 1;;
				}
			}

			if (row == trow && col == tcol){
				break;
			}
			row = trow;
			col = tcol;
		}
		
		for (int i = 1; i <= n; i ++){
			if (row[i])
				continue;
			for (int j = 1; j <= m; j ++){
				if (col[j])
					continue;
				if (((a[i][j] >> bit) & 1) != ((b[i][j] >> bit) & 1)){
					cout << "No\n";
					return;
				}
			}
		}
	}

	cout << "Yes\n";
}