Pinely Round 4 (Div. 1 + Div. 2)

合集 - 题解(18)

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题目链接：Pinely Round 4 (Div. 1 + Div. 2)

总结：被B卡了一年。

A. Maximize the Last Element

tag：模拟

Description：给定一个长度为奇数的数组，每次可以删除两个相邻的元素，直到剩下一个元素为止，求该元素的最大值。

Solution：模拟发现之后保留奇数位的值。

 void solve(){
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        cin >> a[i];
    
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i += 2)
        ans = max(ans, a[i]);
 
    cout << ans << endl;
}

B. AND Reconstruction

tag：构造

Description：给定一个长为 $n - 1$ 的数组 $b$ ，构造一个长度为 $n$ 的数组 $a$ ，满足 $a_{i} & a_{i + 1} == b_{i}$ ，否则输出 $- 1$ 。

Solution：我们令 $a_{1} == b_{1}$ 。然后我们发现 $a_{i}$ 会影响 $b_{i}$ 与 $b_{i - 1}$ ，那么 $a_{i}$ 包含最少的 $1$ 时，必须为 $b_{i - 1} | b_{i}$ 。最后我们令 $a_{n} == b_{n - 1}$ 。

Competing：一开始就想到了，但是思路不清晰，气。

 void solve(){
    cin >> n;
    vector<int> b(n), a(n);
    for (int i = 0; i < n - 1; i ++){
        cin >> b[i];
    }
    a[0] = b[0];
    for (int i = 1; i < n - 1; i ++){
        a[i] = b[i] | b[i - 1];
    }
    a[n - 1] = b[n - 2];
    for (int i = 0; i < n - 1; i ++){
        if (b[i] != (a[i] & a[i + 1])){
            cout << -1 << endl;
            return;
        }
    }
 
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        cout << a[i] << " \n"[i + 1 == n];
}

C. Absolute Zero

tag：构造

Description：给定一个长度为 $n$ 的数组，每次操作可以选定一个 $x$ ，将 $a_{i}$ 更新为 $| a_{i} - x |$ 。构造一个操作序列不操作 $40$ 次，使数组 $a$ 全为 $0$ .

Solution：模拟几组样例发现，如果数组中所有元素的奇偶性必须相同，否则当一个数变为奇数，另一个数会变成偶数。（开始时这两个数奇偶性不同）。

我们只需要每次减去 $(r + l) / 2$ ，逐渐缩小上界即可。
可以使用 $2^{31}, 2^{30}, . . . 1$ 。逐渐缩小上界。

Competing：将 $r + l$ 写为 $r - l$

 void solve(){
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i ++){
        cin >> a[i];
    }
    sort(a.begin(), a.end());
    for (int i = 1; i < n; i ++){
        if ((a[i] - a[i - 1]) & 1){
            cout << -1 << endl;
            return;
        }
    }
    if (a[0] == a[n - 1]){
        if (a[0] == 0){
            cout << 0 << endl << endl;
            return;
        }
        cout << 1 << endl;
        cout << a[0] << endl;
        return;
    }
 
    vector<int> ans;
    while (a[0] != a[n - 1]){
        int t = (a[n - 1] + a[0]) / 2;
        ans.eb(t);
        for (int i = 0; i < n; i ++){
            a[i] = abs(a[i] - t);
        }
        sort(a.begin(), a.end());
    }
    if (a[0] != 0)
        ans.eb(a[0]);
    cout << ans.size() << endl;
    for (int i = 0; i < ans.size(); i ++)
        cout << ans[i] << " \n"[i + 1 == ans.size()];
 
}

D. Prime XOR Coloring

tag：构造

四色定理：“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。

Description：有 $n$ 个顶点，编号从 $1$ 到 $n$ ，当 $u \oplus v$ 为质数时， $u$ 和 $v$ 之间有一条边。用最少的颜色给所有顶点染色，要求相邻顶点的颜色不能相同。

Solution：考虑哪些点之间连边太难，考虑哪些点之间不连边。

根据四色定理知，当 $n >= 6$ 时，一定需要四种颜色。
考虑所有质数，发现除了 $2$ 都是奇数。 $2$ 的二进制 $01$ ， $3$ 的二进制 $10$ ， $4$ 的二进制 $00$ 。那么我们对 $4$ 取余， $m o d 4$ 相同的数异或之后一定不是质数。
然后特判 $n <= 5$ 。

 void solve(){
    cin >> n;
    if (n == 1){
        cout << 1 << endl << 1 << endl;
    }
    else if (n == 2){
        cout << 2 << endl;
        cout << 1 << " " << 2 << endl;
    }
    else if (n == 3){
        cout << 2 << endl;
        cout << "1 2 2\n";
    }
    else if (n == 4){
        cout << 3 << endl;
        cout << "1 2 2 3\n";
    }
    else if (n == 5){
        cout << 3 << endl;
        cout << "1 2 2 3 3\n";
    }
    else{
        cout << 4 << endl;
        for (int i = 1; i <= n; i ++){
            cout << (i % 4) + 1 << " \n"[i == n];
        }
    }
}

E. Coloring Game

tag：二分图 + 交互

Description：给定一个图，一共 $n$ 轮操作，每轮操作：

$A l i c e$ 选择三个颜色中选择两个颜色（ $1, 2, 3$ ）。
$B o b$ 选择一个未染色的顶点进行染色。
如果存在相邻顶点颜色相同 $A l i c e$ 赢，否则 $B o b$ 赢。
你需要选择玩家，并给出获胜策略。

Solution：显然 $A l i c e$ 想赢每次给出两个相同的颜色最好。模拟一下发现如果是二分图则 $B o b$ 必赢，否则 $A l i c e$ 必赢。

如果不是二分图， $A l i c e$ 获胜，每次输出 $1, 2$ 即可。
如果是二分图 $B o b$ 获胜，先用 $1$ 或者 $2$ 将其中一种颜色染完，剩下的一种用 $3$ 进行染色。因为 $1$ 的个数加 $2$ 的个数等于 $n$ ，因此必定有一种颜色会被染完。

 void solve(){
    cin >> n >> m;
    vector g(n, vector<int>());
    vector st(n, -1);
 
    for (int i = 0; i < m; i ++){
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        x --, y --;
        g[x].eb(y);
        g[y].eb(x);
    }
    
    bool flag = true;
    vector<int> f1, f2;
    auto dfs = [&](auto self, int x, int fa, int c) -> void {
        st[x] = c;
        if (c == 1){
            f1.eb(x);
        }
        else
            f2.eb(x);
        for (auto i : g[x]){
            if (i == fa)
                continue;
            if (st[i] == -1){
                self(self, i, x, !c);
            }
            else{
                if (st[i] == c){
                    flag = false;
                }
            }
        }
    };
    dfs(dfs, 0, -1, 1);
    if (flag){
        cout << "Bob" << endl;
        int s1 = f1.size(), s2 = f2.size();
        for (int i = 0; i < n; i ++){
            int a, b;
            cin >> a >> b;
            if (a > b)
                swap(a, b);
            if (a == 1){
                if (s1){
                    s1 --;
                    cout << f1.back() + 1 << " " << a << endl;
                    f1.pop_back();
                }
                else{
                    s2 --;
                    cout << f2.back() + 1 << " " << b <<  endl; 
                    f2.pop_back();
                }
            }
            if (a == 2){
                if (s2){
                    s2 --;
                    cout << f2.back() + 1 << " " << a <<  endl;
                    f2.pop_back();
                }
                else{
                    s1 --;
                    cout << f1.back() + 1 << " " << b << endl;
                    f1.pop_back();
                }
            }
        }
    }
    else{
        cout << "Alice" << endl;
        for (int i = 1; i <= n; i ++){
            int a, b;
            cout << "1 2" << endl;
            cin >> a >> b;
        }
    }
}

F. Triangle Formation

tag：大氛围结论 + 小范围暴力

Description：给定 $n$ 根木棍，每根木棍的长度为 $a_{i}$ 。有 $q$ 次询问，每次询问给定 $l, r$ 。判断每次询问是否能选出 $6$ 根木棍组成两个三角形。 $l <= i <= r, r - l + 1 >= 6, 1 <= a_{i} <= 10^{9}, 1 <= q <= 10^{5}$ 。

Solution：最长的不能组成三角形的序列：斐波拉契序列，因为 $a_{1} + a_{2} == a 3$ ，那么 $a_{1} + a_{2} <= a 4$ 。我们尽可能维护前置条件。

根据 $a_{i} <= 1 e 9$ ，我们得到当 $F_{48}$ 时，最大。因此序列长度超过 $48$ 时，一定能够组成三角形。我们令区间长度为 $60$ ，那么当 $r - l >= 60$ 时，一定有解。
考虑 $r - l <= 60$ ，我们先将区间内的数排序。要想三边构成三角形，那么三条边要即可能接近。如给定 $a, b, c$ ，需要满足 $a + b <= c$ ，假设 $b$ 固定，那么 $a$ 要尽可能大， $c$ 要尽快能小。因此三条边越接近越好。如果能从区间内找到两个无交集的三角形区间即符合条件。
考虑连续 $6$ 个数组成两个三角形，假设现在有 $7$ 个数 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ 。第一个三角形为 $1, 6, 7$ ，那么第二个三角形为 $2, 3, 4 或 3, 4, 5$ 。如果为 $2, 3, 4$ ，那么 $1, 6, 7$ 不如 $5, 6, 7$ 。同理如果为 $3, 4, 5$ ，那么 $1, 6, 7$ 不如 $2, 6, 7$ 。
假设现在有 $a, b, c, d, e, f$ 六条边。其中 $f$ 一定是长边， $a, b$ 一定是短边。
- 如果 $c$ 是长边，则 $a + b > c, d + e > f$ ，已讨论。
- 如果 $d$ 是长边，则 $a + b > d, c + e > f; a + c > d, b + e > f; b + c > d, a + e > f$ ，三种情况。
- 如果 $e$ 是长边，则 $a + b > e, c + d > f; a + c > e, b + d > f; a + d > e, b + c > f; b + c > e, a + d > f$ ，四种情况。

 void solve(){
    int q;
    cin >> n >> q;
    vector<int> a(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        cin >> a[i];
    
    while (q --){
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        if (r - l >= 60){
            cout << "YES\n";
        }
        else{
            vector<int> b;
            for (int i = l; i <= r; i ++)
                b.eb(a[i]);
            sort(b.begin(), b.end());
            int len = b.size();
            
            int mi = -1, ma = -1;
            for (int i = 1; i + 1 < len; i ++){
                if (b[i - 1] + b[i] > b[i + 1]){
                    if (mi == -1){
                        mi = i;
                        continue;
                    }
                    ma = i;
                }
            }
            if (ma - mi >= 3){
                cout << "YES\n";
            }
            else{
                bool ok = false;
                for (int i = 0; i + 5 < len; i ++){
                    vector<int> c(6);
                    for (int j = 0; j < 6; j ++)
                        c[j] = b[i + j];
                    if (c[0] + c[1] > c[3] && c[2] + c[4] > c[5]){
                        ok = true;
                        break;
                    }
                    else if (c[0] + c[2] > c[3] && c[1] + c[4] > c[5]){
                        ok = true;
                        break;
                    }
                    else if (c[1] + c[2] > c[3] && c[0] + c[4] > c[5]){
                        ok = true;
                        break;
                    }
                    else if (c[0] + c[1] > c[4] && c[2] + c[3] > c[5]){
                        ok = true;
                        break;
                    }
                    else if (c[0] + c[2] > c[4] && c[1] + c[3] > c[5]){
                        ok = true;
                        break;
                    }
                    else if (c[0] + c[3] > c[4] && c[1] + c[2] > c[5]){
                        ok = true;
                        break;
                    }
                    else if (c[1] + c[2] > c[4] && c[0] + c[3] > c[5]){
                        ok = true;
                        break;
                    }
                }
                if (ok)
                    cout << "YES\n";
                else
                    cout << "NO\n";
            }
        }
    }
}

posted @ 2024-08-04 01:38 Sakura17 阅读(9) 评论(0) 编辑收藏举报

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	void solve(){
	cin >> n;
	vector<int> a(n);
	for (int i = 0; i < n; i ++)
	cin >> a[i];

	int ans = 0;
	for (int i = 0; i < n; i += 2)
	ans = max(ans, a[i]);

	cout << ans << endl;
	}

	void solve(){
	cin >> n;
	vector<int> b(n), a(n);
	for (int i = 0; i < n - 1; i ++){
	cin >> b[i];
	}
	a[0] = b[0];
	for (int i = 1; i < n - 1; i ++){
	a[i] = b[i] \| b[i - 1];
	}
	a[n - 1] = b[n - 2];
	for (int i = 0; i < n - 1; i ++){
	if (b[i] != (a[i] & a[i + 1])){
	cout << -1 << endl;
	return;
	}
	}

	for (int i = 0; i < n; i ++)
	cout << a[i] << " \n"[i + 1 == n];
	}

	void solve(){
	cin >> n;
	if (n == 1){
	cout << 1 << endl << 1 << endl;
	}
	else if (n == 2){
	cout << 2 << endl;
	cout << 1 << " " << 2 << endl;
	}
	else if (n == 3){
	cout << 2 << endl;
	cout << "1 2 2\n";
	}
	else if (n == 4){
	cout << 3 << endl;
	cout << "1 2 2 3\n";
	}
	else if (n == 5){
	cout << 3 << endl;
	cout << "1 2 2 3 3\n";
	}
	else{
	cout << 4 << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i ++){
	cout << (i % 4) + 1 << " \n"[i == n];
	}
	}
	}

	void solve(){
	cin >> n >> m;
	vector g(n, vector<int>());
	vector st(n, -1);

	for (int i = 0; i < m; i ++){
	int x, y;
	cin >> x >> y;
	x --, y --;
	g[x].eb(y);
	g[y].eb(x);
	}

	bool flag = true;
	vector<int> f1, f2;
	auto dfs = [&](auto self, int x, int fa, int c) -> void {
	st[x] = c;
	if (c == 1){
	f1.eb(x);
	}
	else
	f2.eb(x);
	for (auto i : g[x]){
	if (i == fa)
	continue;
	if (st[i] == -1){
	self(self, i, x, !c);
	}
	else{
	if (st[i] == c){
	flag = false;
	}
	}
	}
	};
	dfs(dfs, 0, -1, 1);
	if (flag){
	cout << "Bob" << endl;
	int s1 = f1.size(), s2 = f2.size();
	for (int i = 0; i < n; i ++){
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	if (a > b)
	swap(a, b);
	if (a == 1){
	if (s1){
	s1 --;
	cout << f1.back() + 1 << " " << a << endl;
	f1.pop_back();
	}
	else{
	s2 --;
	cout << f2.back() + 1 << " " << b << endl;
	f2.pop_back();
	}
	}
	if (a == 2){
	if (s2){
	s2 --;
	cout << f2.back() + 1 << " " << a << endl;
	f2.pop_back();
	}
	else{
	s1 --;
	cout << f1.back() + 1 << " " << b << endl;
	f1.pop_back();
	}
	}
	}
	}
	else{
	cout << "Alice" << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i ++){
	int a, b;
	cout << "1 2" << endl;
	cin >> a >> b;
	}
	}
	}

	void solve(){
	int q;
	cin >> n >> q;
	vector<int> a(n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
	cin >> a[i];

	while (q --){
	int l, r;
	cin >> l >> r;
	if (r - l >= 60){
	cout << "YES\n";
	}
	else{
	vector<int> b;
	for (int i = l; i <= r; i ++)
	b.eb(a[i]);
	sort(b.begin(), b.end());
	int len = b.size();

	int mi = -1, ma = -1;
	for (int i = 1; i + 1 < len; i ++){
	if (b[i - 1] + b[i] > b[i + 1]){
	if (mi == -1){
	mi = i;
	continue;
	}
	ma = i;
	}
	}
	if (ma - mi >= 3){
	cout << "YES\n";
	}
	else{
	bool ok = false;
	for (int i = 0; i + 5 < len; i ++){
	vector<int> c(6);
	for (int j = 0; j < 6; j ++)
	c[j] = b[i + j];
	if (c[0] + c[1] > c[3] && c[2] + c[4] > c[5]){
	ok = true;
	break;
	}
	else if (c[0] + c[2] > c[3] && c[1] + c[4] > c[5]){
	ok = true;
	break;
	}
	else if (c[1] + c[2] > c[3] && c[0] + c[4] > c[5]){
	ok = true;
	break;
	}
	else if (c[0] + c[1] > c[4] && c[2] + c[3] > c[5]){
	ok = true;
	break;
	}
	else if (c[0] + c[2] > c[4] && c[1] + c[3] > c[5]){
	ok = true;
	break;
	}
	else if (c[0] + c[3] > c[4] && c[1] + c[2] > c[5]){
	ok = true;
	break;
	}
	else if (c[1] + c[2] > c[4] && c[0] + c[3] > c[5]){
	ok = true;
	break;
	}
	}
	if (ok)
	cout << "YES\n";
	else
	cout << "NO\n";
	}
	}
	}
	}