【nowcoder 225284】牛牛小数点（结论）（数学）

牛牛小数点

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题目大意

定义一个函数 f(i) 为 1/i 循环节从小数点后第几位开始，位数作为函数的结果。
如果是不循环的小数，那 f(i)=0。
然后要你求 f(1)~f(n) 的和。

思路

首先丢出两个结论：（其实比赛的时候推一推猜一猜都能有）
如果 $x$ 质因子分解之后只有 $2,5$，那它就是不循环的。（这个显然）

然后如果 $x$ 是循环的，它的循环节开始维护就是 $1+\max\{num_2,num_5\}$。（$num_i$ 是质因数分解 $x$ 之后 $i$ 这个质数的个数）

这里给一下网上看到的玄学证明：
如果没有 $2,5$ 因子，通过一个叫做欧拉降幂的东西可以知道 $10^i\equiv1(\bmod\ x)$ 是一定有解的。
那也就说，存在 $i,j$ 使得 $xj=10^i-1$，然后通分 $x=\dfrac{10^i-1}{j}$。
然后有 $\dfrac{1}{x}=\dfrac{j}{10^i-1}$，然后就会得出这是一个循环节长度为 $i$，内容为 $j$ 的无限循环小数。
这里个人感觉十分玄学，但事实就是如此。
那如果没有 $2,5$，循环就是从 $1$ 开始。

而有 $2,5$ 的情况，我们就乘 $\max\{num_2,num_5\}$ 个 $10$，这样它可能分子不是 $1$，但我们看到影响循环节长度（以及开始位置）的是 $i$ 啊，跟它无关。
那这个时候你得到的就是从 $1$ 开始，那把 $10$ 除回去就是从 $1+\max\{num_2,num_5\}$ 开始的。

然后你考虑怎么快速求，考虑根据上面的性质，你枚举数质因数分解之后 $2,5$ 的个数。
然后你考虑有多少个这样的数，设 $2,5$ 个数分别为 $i,j$。

那一共有 $\left\lfloor\dfrac{n}{2^i5^j}\right\rfloor$ 个可能的数。
为什么是可能呢？因为你规定了 $2,5$ 个数，那你选的 $x$ 除 $2^i5^j$ 之后不能有 $2,5$ 因子。

那要怎么找因子呢？
那我们就是要找没有 $2,5$ 因子的数，那我们考虑这些数有什么特点。
（其实可以直接容斥一下得到，但我比赛的时候不是用容斥的）
如果有 $2$ 的因子，那它末尾肯定是 $0,2,4,6,8$ 其中一个，如果有 $5$ 的因子，那它末尾肯定是 $0,5$ 其中一个。
那我们就需要统计有多少个数的末尾不是这些，也就是在 $1,3,7,9$ 之中。

然后大于 $10$ 的部分直接 $x/10*4$，小于的直接暴力判断。

然后就好啦。

代码

#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 998244353

using namespace std;

int T;
ll l, r;

ll clac(ll x) {//统计有循环小数的个数
	ll re = x / 10 * 4;
	x %= 10;
	if (x >= 1) re++;
	if (x >= 3) re++;
	if (x >= 7) re++;
	if (x >= 9) re++;
	return re;
}

ll work(ll x) {//数位DP
	ll now = 1, pre, re = 0;
	ll xnm = 0, ynm = 0;
	while (now <= x) {
		pre = now;
		ynm = 0;
		while (now <= x) {
			ll maxn = x / now;
			re = (re + max(xnm + 1, ynm + 1) * (clac(maxn) - 1ll) % mo) % mo;
			
			ynm++;
			now *= 5ll;
		}
		xnm++;
		now = pre;
		now <<= 1;
	}
	return re;
}

int main() {
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		scanf("%lld %lld", &l, &r);
		printf("%lld\n", ((work(r) - work(l - 1)) % mo + mo) % mo);
	}
	
	return 0;
}

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本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/nowcoder_225284.html
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