【nowcoder 225284】牛牛小数点（结论）（数学）

牛牛小数点

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题目大意

定义一个函数 f(i) 为 1/i 循环节从小数点后第几位开始，位数作为函数的结果。
如果是不循环的小数，那 f(i)=0。
然后要你求 f(1)~f(n) 的和。

思路

首先丢出两个结论：（其实比赛的时候推一推猜一猜都能有）
如果 \(x\) 质因子分解之后只有 \(2,5\)，那它就是不循环的。（这个显然）

然后如果 \(x\) 是循环的，它的循环节开始维护就是 \(1+\max\{num_2,num_5\}\)。（\(num_i\) 是质因数分解 \(x\) 之后 \(i\) 这个质数的个数）

这里给一下网上看到的玄学证明：
如果没有 \(2,5\) 因子，通过一个叫做欧拉降幂的东西可以知道 \(10^i\equiv1(\bmod\ x)\) 是一定有解的。
那也就说，存在 \(i,j\) 使得 \(xj=10^i-1\)，然后通分 \(x=\dfrac{10^i-1}{j}\)。
然后有 \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{j}{10^i-1}\)，然后就会得出这是一个循环节长度为 \(i\)，内容为 \(j\) 的无限循环小数。
这里个人感觉十分玄学，但事实就是如此。
那如果没有 \(2,5\)，循环就是从 \(1\) 开始。

而有 \(2,5\) 的情况，我们就乘 \(\max\{num_2,num_5\}\) 个 \(10\)，这样它可能分子不是 \(1\)，但我们看到影响循环节长度（以及开始位置）的是 \(i\) 啊，跟它无关。
那这个时候你得到的就是从 \(1\) 开始，那把 \(10\) 除回去就是从 \(1+\max\{num_2,num_5\}\) 开始的。

然后你考虑怎么快速求，考虑根据上面的性质，你枚举数质因数分解之后 \(2,5\) 的个数。
然后你考虑有多少个这样的数，设 \(2,5\) 个数分别为 \(i,j\)。

那一共有 \(\left\lfloor\dfrac{n}{2^i5^j}\right\rfloor\) 个可能的数。
为什么是可能呢？因为你规定了 \(2,5\) 个数，那你选的 \(x\) 除 \(2^i5^j\) 之后不能有 \(2,5\) 因子。

那要怎么找因子呢？
那我们就是要找没有 \(2,5\) 因子的数，那我们考虑这些数有什么特点。
（其实可以直接容斥一下得到，但我比赛的时候不是用容斥的）
如果有 \(2\) 的因子，那它末尾肯定是 \(0,2,4,6,8\) 其中一个，如果有 \(5\) 的因子，那它末尾肯定是 \(0,5\) 其中一个。
那我们就需要统计有多少个数的末尾不是这些，也就是在 \(1,3,7,9\) 之中。

然后大于 \(10\) 的部分直接 \(x/10*4\)，小于的直接暴力判断。

然后就好啦。

代码

#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 998244353

using namespace std;

int T;
ll l, r;

ll clac(ll x) {//统计有循环小数的个数
	ll re = x / 10 * 4;
	x %= 10;
	if (x >= 1) re++;
	if (x >= 3) re++;
	if (x >= 7) re++;
	if (x >= 9) re++;
	return re;
}

ll work(ll x) {//数位DP
	ll now = 1, pre, re = 0;
	ll xnm = 0, ynm = 0;
	while (now <= x) {
		pre = now;
		ynm = 0;
		while (now <= x) {
			ll maxn = x / now;
			re = (re + max(xnm + 1, ynm + 1) * (clac(maxn) - 1ll) % mo) % mo;
			
			ynm++;
			now *= 5ll;
		}
		xnm++;
		now = pre;
		now <<= 1;
	}
	return re;
}

int main() {
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		scanf("%lld %lld", &l, &r);
		printf("%lld\n", ((work(r) - work(l - 1)) % mo + mo) % mo);
	}
	
	return 0;
}