【luogu U137469】分肉（结论）

分肉

题目链接：luogu U137469

题目大意

给你两个数 n,m 然后问你对它进行 k 次变化后，小的数是多少。
定义一次变换为让大的数减去小的数，然后让小的数乘二。

思路

这道题是结论题。

首先发现 \(n+m\) 为定值。

你考虑进行变换，假设大的一直是大的，小的一直是小的。

\(n,m(n>m)\)
\(n-m,2m\)
\(n-3m,4m\)
\(n-7m,8m\)

发现右边每次乘二（\(2^x\)），左边好像没有什么特别的规律，好像就是右边的减 \(m\) 的系数会表示乘 \(2^x-1\)。
那你发现一个是 \(2^x\)，一个是 \(2^x-1\)，而且如果把左边的表示乘 \((n+m)-8m\)，那就是 \(2^x\) 了。

那它一个 \(2^xm\)，一个是 \((n+m)-2^xm\)， 你考虑去掉 \((n+m)\)，那要怎么去掉呢？

因为它是定值，我们考虑取模，那这一模 \((n+m)\)，左边是 \(2^xm\)，右边就是 \(-2^xm\equiv 2^x(n+m)-2^xm\equiv 2^xn\bmod(n+m)\)。

然后你发现其实就是两个数在\(\mod(n+m)\) 的情况下乘 \(2^k\) 的结果。
然后就可以啦。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long

using namespace std;

int T;
ll n, m, k;

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x % (n + m);
		x = x * x % (n + m);
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

int main() {
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &k);
		ll x = n * ksm(2, k) % (n + m);//求出 n 的最终大小（拿 n+m 减去就是 m 的了）
		printf("%lld\n", min(x, n + m - x));//输出最小值
	}
	
	return 0;
}