【luogu P8376】排列（构造）（思维）

排列

题目链接：luogu P8376

题目大意

给你一个 k，要你构造一个长度不超过 90 的排列，使得这个排列的递增子序列个数恰好为 k。

思路

首先我们考虑构造出它至少要能到它的大小，那怎么增大的最快呢？
就直接按顺序，然后每次是 $2^0,2^1,2^2,...$。

那你会发现你可以依此得到一个 $2^u$（$u$ 是 $k$ 的最高位），不过要再加一个 $1$。
（不过你会发现因为空串也算，但是你没有算上，所以不用加）
然后你会发现后面就是可以类似二进制拆分的搞，从而得到 $91.36$。

接着就卡住了。。。
当然有一些神奇的随机化做法可以弄过去，但这里说一个从一个大佬的题解中看到的优美做法。
你观察为什么会卡，因为你是 $2\log k$ 的次数，而 $\log k\approx 60$，答案是 $90$，它是 $\log k$ 的一点五倍！
这启发我们用一些方法来优化常数。

自然前面的那 $\log k$ 个无法优化，那我们考虑把后面的 $\log k$ 减少一半。
怎么减少一半呢？你会发现如果你前面凑了两个位置，你可以通过一种方法使得后面两个连续的 $1$ 只需要放一次！


如图，这两个的个数其实是一样的，因为你第二个图右边的那个点除了跟后面上面的黑点正常贡献，它可以有三种（自己，前面带上第一个红点，前面带上第二个红点）
那就是乘 $3$，亦或者说是给自己的前面加了一个 $1$！

先看看这样能优化的个数，前面 $1,1$ 占了两个，如果那后面如果不是连续的 $1$，那说明这个位置 $1$ 只占了一半，可以正常弄，如果两个 $1$ 我们就压缩到 $1$ 个，优化了一半。
所以是刚好优化了一半的！

那我们就可以用这种方法来搞，然后接下来讲讲具体的：
那我们先从高位往低位跑一次，得到那些位置值正常弄，那些位置压缩弄。
然后我们接着考虑怎么排位置，就根据上面的第二张图来看：
首先黑色点都是大于红色点，直接把最大的排上去。
接着我们考虑怎么搞，因为我们要保证每个合并点前面要恰好有两个比它小的，这从高位往低位不再好搞，我们考虑从低位往高位搞。
然后因为你从低位往高位搞，构造出来是从右往左的，所以你要把你构造出来的序列最后翻转一下。

那继续想怎么弄，你考虑数是越来越大的，然后如果你要弄新合并点，你就预先留出两个位置给非合并点放，这两个位置是小的。
如果合并点后面又是合并点，那其实没有必要再弄，继续用哪个非合并点，然后大小比前面的非合并点大（因为你从后往前）即可。

那我们可以这样实现，我们一直给新合并点找两个位置，如果有普通点来了就占一个位置，新的位置再找。
然后如果来了合并点我们已经找好了，就不用再找，直接用下一个位置。
然后我们记录就弄两个指针指着普通点当前放在哪里，合并点当前放在哪里。
然后搞就可以啦，如果还是不知道可以看看代码的实现。

代码

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

const int N = 101;
int a[N];
bool in[N];

vector<int> construct_permutation(long long k) {
	vector <int> re, A, B;
	int tot = 0;
	ll tk = k; while (tk) a[tot++] = tk & 1, tk >>= 1;
	
	int cnt = 0;
	for (int i = tot - 2; i >= 0; i--) {
		if (a[i]) {
			if (cnt < 2 || !i || !a[i - 1]) {
				cnt++; A.push_back(i); a[i] = 0;
			}
			else {
				B.push_back(i - 1); a[i] = a[i - 1] = 0;
			}
		}
	}
	
	int p0 = 0, p1 = 0, num0 = 0, sum = tot - 1 + A.size() + B.size();
	for (int i = 0; i < A.size() + B.size(); i++) in[i] = 0;
	while (num0 < 2) if (!in[++p1]) num0++;
	for (int i = 0; i < tot - 1; i++) {
		if (!A.empty() && A.back() == i) {
			re.push_back(p0); A.pop_back();
			num0--; in[p0] = 1;
			while (in[p0]) p0++;
			while (num0 < 2) if (!in[++p1]) num0++;
		}
		if (!B.empty() && B.back() == i) {
			re.push_back(p1); B.pop_back(); in[p1] = 1;
			while (in[p1]) p1++;
		}
		re.push_back(--sum);
	}
	reverse(re.begin(), re.end());
	
	return re;
}

/*
#include<algorithm>
#include<assert.h>

static long long MX=1e18;

static bool check_permutation(vector<int> v)
{
	sort(v.begin(),v.end());
	for(int i=0;i<v.size();i++)
		if(v[i]!=i) return 0;
	return 1;
}

long long count_increasing(const vector<int>& v) {
  vector<long long> dp(v.size() + 1, 0);
  dp[0] = 1;
  for (int x : v)
  {
  	for (int i = 0; i <= x; i++)
  	{
  		dp[x+1] += dp[i];
  		dp[x+1] = min(dp[x+1],MX+1);
  	}
  }
  long long result = 0;
  for (int i = 0; i <= (int)v.size(); i++){
  	result += dp[i];
  	result = min(result,MX+1);
  }
  return result;
}
 
int main() {
	int t;
	assert(1 == scanf("%d", &t));
	while(t--)
	{
		long long k;
		assert(1 == scanf("%lld",&k));
		vector<int> ret=construct_permutation(k);
//		for (int i = 0; i < ret.size(); i++) printf("%d ", ret[i]); printf("\n");
		if(!check_permutation(ret))
		{
			printf("WA: Returned array is not a permutation\n");
			exit(0);
		}
		long long inc=count_increasing(ret);
		if(inc!=k)
		{
			if(inc==MX+1)
				printf("WA: Expected %lld increasing subsequences, found more than %lld\n",k, MX);
			else
				printf("WA: Expected %lld increasing subsequences, found %lld\n",k,inc);
			exit(0);
		}
		printf("%d\n",(int)ret.size());
		for(int i=0;i<ret.size();i++)
		{
			printf("%d",ret[i]);
			if(i+1==ret.size())
				printf("\n");
			else
				printf(" ");
		}
	}
	return 0;
}
*/

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本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/luogu_P8376.html
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