【luogu P8352】小 N 的独立集(DP套DP)(性质)
小 N 的独立集
题目链接:luogu P8352
题目大意
给你一棵树,然后每个点可以有 1~k 的点权。
然后对于每一种点权,形成的 n^k 棵树,最大权独立集的点权和为 x 的树有多少种。
对于每个 x 输出答案。
思路
笑死第一次做 DP 套 DP 推起来贼乱被爆杀。
(知道 DP 套 DP 的不难就知道)
里层 DP: 当前点是 , 没选 / 选了。
然后对于一个点 的儿子 合并子树:
然后外层就设 为 点 和 分别是 的方案数。
然后你就枚举一下类似背包的合并即可。
然后发现会 T,。(合并 )
考虑找点性质优化:
因为每次选了最多加 ,我们可以从 DP 的式子发现如果 ,那一定是只需要 ,那 的值就没有意义了。
而且如果是小于,差不会超过 ,那我们可以换个表示方法: 为 点 分别是 的方案数,那 就是 的级别的了。
然后转移就是 (因为你按大小合并从 LCA 的角度计数是 的)
至于转移细节,枚举 分别表示 和 。
那转移到的就是 (因为你这里是要 不选儿子 选不选都可以),然后第三维也不难理解。
(第三维可以通过 另一种方法,似乎更加利于理解)
代码
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define ll long long
#define mo 1000000007
using namespace std;
const int N = 1005;
int n, K, sz[N];
vector <int> G[N];
ll f[N][N * 5][6], tmp[N * 5][6];
//1~5:正常,f1>f0,此时j记录f0
//f0不选,f1选
void dfs(int now, int father) {
sz[now] = K;
for (int i = 1; i <= K; i++) f[now][0][i] = 1;
for (int to = 0; to < G[now].size(); to++) { int x = G[now][to];
if (x == father) continue; dfs(x, now);
for (int i = 0; i <= sz[now]; i++) for (int ii = 0; ii <= K; ii++) if (f[now][i][ii])
for (int j = 0; j <= sz[x]; j++) for (int jj = 0; jj <= K; jj++) if (f[x][j][jj]) {
(tmp[i + j + jj][max(ii - jj, 0)] += f[now][i][ii] * f[x][j][jj] % mo) %= mo;
}
sz[now] += sz[x];
for (int i = 0; i <= sz[now]; i++) for (int j = 0; j <= K; j++) f[now][i][j] = tmp[i][j], tmp[i][j] = 0;
}
}
int main() {
// freopen("nset.in", "r", stdin);
// freopen("nset.out", "w", stdout);
scanf("%d %d", &n, &K);
for (int i = 1; i < n; i++) {
int x, y; scanf("%d %d", &x, &y);
G[x].push_back(y); G[y].push_back(x);
}
dfs(1, 0);
for (int i = 1; i <= K * n; i++) {
ll re = 0;
for (int j = 0; j <= i && j <= K; j++)
(re += f[1][i - j][j]) %= mo;
printf("%lld\n", re);
}
return 0;
}
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