【luogu P8340】山河重整（容斥）（DP）

山河重整

题目链接：luogu P8340

题目大意

有 1~n 这 n 个数，问你有多少种选的方案，使得 1~n 中的每个数都可以表示为你选的其中一些数的和。

思路

考虑怎么才会满足条件，我们考虑从小的数开始组。
那 $1$ 肯定要有 $1$，$2$ 的话也是，那我们看 $3$ 以及以上 $i$，那你会发现你肯定要用 $\leq i$ 的来拼，那首先由必要条件是 $\leq i$ 的部分的和要 $\geq i$，然后其实你会发现它是必要的 。

因为你 $1\sim i-1$ 的都可以被凑出来，找到最小的 $x$ 使得 $\leq x$ 的和 $\geq i$，那设这个值是 $t$，那 $i\leq t< 2i$，那 $t-i< i$，那这个也可以被表示出来。
那你用 $t$ 的集合减去 $t-i$ 的集合不就得到 $i$ 了吗。

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于是我们就变成数有多少个集合使得对于所有的 $i$ 都满足集合中 $\leq i$ 的值的和 $\geq i$。

发现这个是每个位置都要满足不好统计，考虑找不合法的：存在一个位置 $i$ 使得 $\leq i$ 的值的和 $<i$。
那接着就有一个比较显然的东西就是要满足这个一定会有 $\leq i-1$ 的值恰好为 $i-1$！
（然后接着 $i$ 这个位置没有值）

那我们是不是可以根据这个来弄呢？
设 $f_{i}$ 为 $\leq i$ 的部分选一些恰好为 $i$，且前面过程全部满足合法条件的。
那这里又要合法条件了，那也没关系，我们再看怎么容斥掉嘛。
那先看不管合不合法的，先有多少种情况。
那就是一个整数划分（划分成的数互补相同），然后你会发现拆出来数的个数是 $\sqrt{n}$ 级别的。
（$1+2+3+...+n=n*(n-1)/2$）

那我们考虑能不能从这里搞，弄出这个类似表格的东西：

这个表示的就是 $4+3+1=8$ 的一个拆分。
那我们你这里是一列一列的加，我们能不能一行一行的加呢？毕竟行的长度是 $\sqrt{n}$ 级别。
那其实是可以的，那我们看看有什么特别的性质：
会发现如果一行有 $x$ 的长度，那一定要有 $1\sim x-1$ 的长度。
然后同一个长度没有数量限制，那不就是一个有上面这个特别限制的完全背包吗！
然后至于这个限制怎么弄，我们就从大到小来枚举放行的长度，然后这样我们可以强制要么新开一个放，要么就一定要强制在之前的基础上继续放，这样就可以满足上面的条件了。
（具体实现可以看看代码，就是强制至少选一个，然后再完全背包）

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那接下来就只剩下一个问题了，就是怎么减去不合法的方案。
那不难看出不合法其实就是你这里不满足的一部分，那感觉就可以 DP。

那我们再看看不合法具体会怎样：
首先一个位置 $j$ 满足 $\leq j$ 的和为 $j$，然后 $j+1$ 没有，然后后面 $j+2\sim i$ 中会选一些跟 $j$ 加起来得到 $i$。
那这里就有一个条件，就是后面是一定要选的，那选最小的值就是 $j+2$，那有可能能凑到 $i$ 就至少需要 $j+j+2\leq i$。

那后面就是 $i-j$ 个里面从 $[j+2\sim i]$ 取得。
（后面也是拆）

拆像之前一样拆，然后那每个数多放进去就额外有 $j+2$ 的贡献。
所以你每个位置初始放就是不一样的了：
那你得先枚举 $j$，然后你重新看是什么代表着放进去数的数量，会发现其实就是 $i$，那你初始化的位置就是 $j+(j+2)*i$，那放的值就是 $f_j$。
然后也是完全背包就可以。

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然后又有一个问题，你求 $f_i$ 需要用到 $f_j$，也就是要前面的值啊。
那怎么搞呢？（其实会发现这个东西很分治）
然后你还发现还有一个性质就是我们刚刚说的 $j+j+2\leq i$，那每次只会用到前面的一半当做 $j$。
那我们根本不用分治，直接倍增就好，求出 $1\sim 2^x$，然后用这个来求 $2^x+1\sim 2^{x+1}$ 的答案即可。

代码

#include<cmath>
#include<cstdio>

using namespace std;

const int N = 5e5 + 10;
int n, mo, f[N], g[N], cf[N];

int jia(int x, int y) {return (x + y) >= mo ? x + y - mo : x + y;}
int jian(int x, int y) {return x < y ? x - y + mo : x - y;}
int cheng(int x, int y) {return 1ll * x * y % mo;}

void work(int n) {
	if (n <= 1) return ;
	work(n / 2);//倍增
	for (int i = 0; i <= n; i++) g[i] = 0;
	
	int B = sqrt(2 * n);
	for (int i = B; i >= 1; i--) { 
		for (int j = n; j >= i; j--) g[j] = g[j - i];
		for (int j = i - 1; j >= 0; j--) g[j] = 0;
		for (int j = 0; j + (j + 2) * i <= n; j++)//如果要选 i 那么 1~i 都要，所以是 i 个 
			g[j + (j + 2) * i] = jia(g[j + (j + 2) * i], f[j]);
		for (int j = i; j <= n; j++) g[j] = jia(g[j], g[j - i]);
	}
	
	for (int i = n / 2 + 1; i <= n; i++) (f[i] += mo - g[i]) %= mo;
}

void Init() {
	f[0] = 1; int B = sqrt(2 * n);
	for (int i = B; i >= 1; i--) {
		for (int j = n; j > i; j--) f[j] = f[j - i];//强制要选 i 
		for (int j = i; j >= 1; j--) f[j] = 0;
		for (int j = i; j <= n; j++)
			f[j] = jia(f[j], f[j - i]);//完全背包（继续选） 
	}
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &mo);
	
	Init();
	work(n);
	
	cf[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) cf[i] = cheng(cf[i - 1], 2);
	int ans = cf[n];
	for (int i = 0; i < n; i++) ans = jian(ans, cheng(f[i], cf[n - i - 1]));
	printf("%d", ans);
	
	return 0;
} 

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本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/luogu_P8340.html
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