【luogu P8326】Fliper（图论）（构造）（欧拉回路）

Fliper

题目链接：luogu P8326

题目大意

平面上有 n 个挡板（分左上到右下和右上到左下），如果小球碰到会 90 度改变轨迹。
然后你要给每个挡板一个颜色，使得对于每个循环的反弹序列，满足每个颜色的挡板出现次数相同而且是偶数。（如果一个挡板在序列中出现两次算两次）
如果无法构造方案输出 -1。

思路

首先考虑找出循环。
那就是把一个挡板分成两个点（两面），然后连一个同色边表示这个边的颜色确定挡板的颜色。
然后你把从一面弹回到令一个地方的一个面的两个点连边，然后把这个给缩点一下。

那就会形成一些大点（表示循环序列），以及一些其他的点（不在循环序列中），那我们把它连向一个 \(\rm inf\) 点。

然后考虑染色，会发现你要满足所有的循环序列，如果暴力搞可以解方程但是复杂度也太大了。
考虑找点性质，那这是一个图我们就找点图论的性质。

发现有解的情况我们看看是则那样的，不难想到情况是每个大点的度数要是 \(8\) 的倍数。
然后图论中有一个性质就是度数为奇数的点总是有偶数个的。
然后我们就可以得出 \(\rm inf\) 点的度数一定也是偶数。（如果是奇数那就只有 \(1\) 个点，不是偶数个）
那不难想到一个东西叫做欧拉回路。
考虑找出欧拉回路然后黑白染色，那我们就分成了两种颜色。

那不难接下来想出分出四种的做法：因为这样之后度数是 \(4\) 的倍数，所以也是存在欧拉回路的。（根据上面的图论性质也会有 \(\rm inf\) 点度数为偶数）
那我们就对分出的两个颜色的图分别再跑一个欧拉回路，就分成四种了。

代码

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 5e5 + 1000; 
/* op=0: / , op=1: \ */
/*
i / n+i
i \ n+i
*/
struct node {
	int x, y, op, id;
}a[N];
int n, col[N * 2], tot;
int ans[N], KK_, sta[N * 2], du[N * 2];
vector <int> G[N * 2], F[N * 2], F_[N * 2];
bool in[N * 2], use[N * 2];

int zf, re; char c;
int read() {
	zf = 1; re = 0; c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') {
		if (c == '-') zf = -zf;
		c = getchar();
	}
	while (c >= '0' && c <= '9') {
		re = (re << 3) + (re << 1) + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return re * zf;
}

bool cmpx(node x, node y) {if (x.x != y.x) return x.x < y.x; return x.y < y.y;}
bool cmpy(node x, node y) {if (x.y != y.y) return x.y < y.y; return x.x < y.x;}

void add(int x, int y) {
	G[x].push_back(y); G[y].push_back(x);
}
//0:光线边
//1:同色边
//2:INF边 

bool Find;
void dfs(int now, int father) {
	sta[++sta[0]] = now; in[now] = 1;
	for (int i = 0; i < G[now].size(); i++)
		if (G[now][i] != father) {
			if (in[G[now][i]]) {
				tot++; Find = 1;
				while (sta[0]) col[sta[sta[0]]] = tot, sta[0]--;
				return ;
			}
			else dfs(G[now][i], now);
			if (Find) return ;
		}
}

void Add(int x, int y, int z) {
	F[x].push_back(y); if (x != y) F[y].push_back(x); 
	F_[x].push_back(z); if (x != y) F_[y].push_back(z);
	du[x]++; du[y]++;
}

void Link() {
	sort(a + 1, a + n + 1, cmpy);
	for (int L = 1, R; L <= n; L = R + 1) {
		R = L; while (R < n && a[R + 1].y == a[L].y) R++;
		for (int i = L; i < R; i++) {
			add(n + a[i].id, a[i + 1].id);
		}
	}
	sort(a + 1, a + n + 1, cmpx);
	for (int L = 1, R; L <= n; L = R + 1) {
		R = L; while (R < n && a[R + 1].x == a[L].x) R++;
		for (int i = L; i < R; i++) {
			if (a[i].op == 0 && a[i + 1].op == 0) add(a[i].id, n + a[i + 1].id);
			if (a[i].op == 0 && a[i + 1].op == 1) add(a[i].id, a[i + 1].id);
			if (a[i].op == 1 && a[i + 1].op == 0) add(n + a[i].id, n + a[i + 1].id);
			if (a[i].op == 1 && a[i + 1].op == 1) add(n + a[i].id, a[i + 1].id);
		}
	}
	
	for (int i = 1; i <= 2 * n; i++)
		if (!in[i]) {
			sta[0] = 0, Find = 0, dfs(i, 0);
			if (!Find) {
				while (sta[0]) use[sta[sta[0]]] = 1, sta[0]--;
			}
		}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int x = use[i] ? 2 * n + 1 : col[i];
		int y = use[n + i] ? 2 * n + 1 : col[n + i];
		Add(x, y, i);
	}
}

bool check_ans() {
	for (int i = 1; i <= tot; i++)
		if (du[i] % 8 != 0) return 0;
	return 1;
}

struct nde {
	int id, to, nxt;
}e[N * 2];
int in_[N * 2], le[N * 2], KK;

void run_way(int now) {
	for (int i = le[now]; i; i = le[now]) {
		le[now] = e[i].nxt;
		if (in_[e[i].id]) continue; in_[e[i].id] = 1;
		run_way(e[i].to); sta[++sta[0]] = e[i].id;
	}
}

void get_oula() {
	memset(in_, 0, sizeof(in_)); sta[0] = 0;
	run_way(2 * n + 1);
	for (int i = 1; i <= tot; i++) run_way(i);
	for (int i = 1; i <= sta[0]; i += 2)
		in_[sta[i]]++;
}

void clear() {
	KK = 0; memset(le, 0, sizeof(le));
}

void slove() {
	clear();
	for (int i = 1; i <= 2 * n + 1; i++)
		for (int j = 0; j < F[i].size(); j++)
			e[++KK] = (nde){F_[i][j], F[i][j], le[i]}, le[i] = KK;
	get_oula();
	for (int i = 1; i <= n; i++) ans[i] = in_[i] * 2;
	
	clear();
	for (int i = 1; i <= 2 * n + 1; i++)
		for (int j = 0; j < F[i].size(); j++)
			if (ans[F_[i][j]] == 2)
				e[++KK] = (nde){F_[i][j], F[i][j], le[i]}, le[i] = KK;
	get_oula();
	for (int i = 1; i <= n; i++) if (in_[i]) ans[i] += in_[i] - 2;
	clear();
	for (int i = 1; i <= 2 * n + 1; i++)
		for (int j = 0; j < F[i].size(); j++)
			if (ans[F_[i][j]] == 4)
				e[++KK] = (nde){F_[i][j], F[i][j], le[i]}, le[i] = KK;
	get_oula();
	for (int i = 1; i <= n; i++) if (in_[i]) ans[i] += in_[i] - 2;
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", ans[i]);
}

int main() {
//	freopen("pinball.in", "r", stdin);
//	freopen("pinball.out", "w", stdout);
	
	n = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		a[i].x = read(); a[i].y = read(); a[i].id = i;
		char c = getchar(); while (c != '\\' && c != '/') c = getchar();
		if (c == '/') a[i].op = 0; else a[i].op = 1;
	}
	
	Link();
	if (!check_ans()) {printf("-1"); return 0;}
	slove();
	
	return 0;
}