【luogu P7599】雨林跳跃

雨林跳跃

题目大意：luogu P7599

题目大意

有一排数，它们互不相同。
我们将移动定义为向左或向右走到第一个大于它的数。
现在多组询问，每次给出起点范围和终点范围，要你选起点终点，然后能走到而且用的步数最少。
如果无论如何都走不到终点就输出 -1。

思路

小性质

首先我们要发现一些性质：
是不会有跳到终点区间右边再跳回来的情况。因为终点在起点右边，那你要跳到终点右边，你跳到的位置一定会大于你起点到当前点的值，那你这个值已经比答案区间的所有值都高了，就跳不回去了。

那你就想到有往左走和往高走两个选项。
一个是为了走到终点，一个是为了更快的走到要的高度。

终点

我们设 $M$ 是 $BC$ 区间最高的，$N$ 是 $CD$ 区间最高的。

那最后一步一定是这样的：

从一个高于等于 $M$ 小于 $N$ 的地方向右跳，而且要 $E$ 是 $EM$ 区间最高的。
那这样跳就会跳入 $CN$ 区间，就在答案区间中，我们把这些 $E$ 叫做准终点。
那其实问题可以是如何最快走到准终点，那终点也确定了，就根据高度的限定。

确定起点

那接着我们开始想一些问题，起点选哪个？
先说说结果，如果有准终点就它，否则选 $AB$ 中最高的 $S$ 使得 $SM$ 中除了 $M$ $S$ 最高，当然它要小于 $N$。
为什么呢？有准终点就很显然，没有的我们画图看看：

（$P$ 是选的，$R,Q$ 分别表示它左跳右跳跳到的位置）
（$Q$ 一定不在 $AB$ 段，否则它才是 $P$）
由于 $AB$ 间没有准节点，所以 $R$ 会比 $N$ 高。（如果不比它搞那它就应该是 $P$）所以 $AR$ 间都不能做起点。而如果 $R$ 跑到 $A$ 左边，虽然不一定比 $N$ 高，但它就属于后面证好的 $RP$ 中，不需要证了。
$RP$ 之间由于 $P$ 跳到 $R$ 有都低于 $P$，所以要跳出去一定会碰到 $R,P$ 其中一个，所以不优。
$PQ$ 之间同样的道理，但由于 $Q$ 不在 $AB$ 中，那 $P$ 必然一次到 $Q$，故别的不会比 $P$ 更优。
那就从 $P$ 最优。

那接着说说怎么找到，那容易看到就是从 $B$ 开始不停往左跳，如果跳到的下一个在 $A$ 左边或大于 $N$ 就不跳停下。

跳的策略

那接着就是要怎么跳了。

那如果两边都能跳，而且跳了都不会大于等于 $M$，那肯定选高的跳，加快速度。
那如果跳高的发现大于等于 $M$，那就判断一下这样是不是在准终点，如果是就走。
否则不走，然后一直往右跳，直到跳到准终点。（当然如果跳不到就是无解）

怎么跳

容易想到倍增，就倍增左跳，右跳，高跳。
然后一开始求 $M,N$ 是求区间最大值，可以用 ST 表来搞。（当然也要倍增）

代码

#include <vector>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f

int n, h[200001], high[200001][21], left[200001][21], righ[200001][21];
int l[200001], r[200001], sta[200001], log2[200001];
int maxn[200001][21];

void init(int N, std::vector<int> H) {
	n = N;
	h[0] = INF;
	for (int i = 0; i < N; i++)
		h[i + 1] = H[i];
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {//单调队列求左跳右跳跳到的位置
		while (sta[0] && h[sta[sta[0]]] < h[i]) sta[0]--;
		l[i] = sta[sta[0]];
		sta[++sta[0]] = i;
	}
	sta[0] = 0;
	for (int i = n; i >= 1; i--) {
		while (sta[0] && h[sta[sta[0]]] < h[i]) sta[0]--;
		r[i] = sta[sta[0]];
		sta[++sta[0]] = i;
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {//倍增的第一层
		left[i][0] = l[i]; righ[i][0] = r[i];
		if (l[i] && r[i]) high[i][0] = (h[l[i]] > h[r[i]]) ? l[i] : r[i];
		maxn[i][0] = i;
	}
	for (int i = 1; (1 << i) <= n; i++)//倍增
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			left[j][i] = left[left[j][i - 1]][i - 1];
			righ[j][i] = righ[righ[j][i - 1]][i - 1];
			high[j][i] = high[high[j][i - 1]][i - 1];
			if (j + (1 << i) - 1 <= n)//只有它要判，因为别的不是一个一个跳的
				maxn[j][i] = (h[maxn[j][i - 1]] > h[maxn[j + (1 << (i - 1))][i - 1]]) ? maxn[j][i - 1] : maxn[j + (1 << (i - 1))][i - 1];
		}
	
	log2[1] = 0;//预处理log（ST表要用）
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		log2[i] = log2[i >> 1] + 1;
}

int get_maxn(int l, int r) {//ST表求区间最大值
	int log = log2[r - l + 1];
	return (h[maxn[l][log]] > h[maxn[r - (1 << log) + 1][log]]) ? maxn[l][log] : maxn[r - (1 << log) + 1][log];
}

int minimum_jumps(int A, int B, int C, int D) {
	A++; B++; C++; D++; 
	int Mx = (B + 1 <= C - 1) ? h[get_maxn(B + 1, C - 1)] : 0;
	int Nx = h[get_maxn(C, D)];
	
	int now = B, ans = 0;
	for (int i = 20; i >= 0; i--)//确定起点
		if (left[now][i] >= A && h[left[now][i]] < Nx)
			now = left[now][i];
	if (Mx <= h[now] && h[now] <= Nx) return 1;
	
	for (int i = 20; i >= 0; i--)//先向高跳
		if (h[high[now][i]] < Mx) {
			ans += (1 << i);
			now = high[now][i];
		}
	if (Mx <= h[high[now][0]] && h[high[now][0]] <= Nx) return ans + 2;
	
	for (int i = 20; i >= 0; i--)//往左跳
		if (h[righ[now][i]] < Mx) {
			ans += (1 << i);
			now = righ[now][i];
		}
	if (Mx <= h[r[now]] && h[r[now]] <= Nx) return ans + 2;
	
	return -1;//跳不到
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/luogu_P7599.html
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