【luogu P7112】【模板】行列式求值（数学）（线性代数）（高斯消元）

【模板】行列式求值

题目链接：luogu P7112

题目大意

给你一个矩阵，求它的行列式。

行列式定义式：
\(\sum\limits_{p}(-1)^{\tau(p)}\prod\limits_{i=1}^na_{i,p_i}\)，其中 \(p\) 是一个排列，\(\tau(p)\) 指的是 \(p\) 中的逆序对数

思路

给出行列式的几个性质：

交换两行或者两列，答案变成相反数。
一行加一行乘常数答案不变。
一行同乘 \(k\) 结果不变。

不难看出跟高斯消元的样子很像，考虑把高斯消元边一下形。

然后我们再想想把它变成只有 \(a_{i,i}\) 有值有什么用。
你会发现只有当 \(p=\{1,2,...,n\}\) 的时候 \(\prod\) 里面才会有值，别的时候都是 \(0\)。
加上这个 \(p\) 的 \(\tau(p)=0\)，所以这个的答案就是 \(\prod\limits_{i=1}^na_{i,i}\)。

然后乘上可能会变成相反数的 \(-1\)，就是答案了。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

int n;
ll mo, a[601][601];

ll work() {
	ll zf = 1, ans = 1, tmp;
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int k = i;
		for (int j = i + 1; j <= n; j++)
			if (a[j][i] > a[k][i]) {
				k = j;
			}
		if (!a[k][i]) return 0;
		
		if (k != i) swap(a[i], a[k]), zf = -zf;
		
		for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
			if (a[j][i] > a[i][i]) swap(a[i], a[j]), zf = -zf;
			while (a[j][i]) {
				tmp = a[i][i] / a[j][i];
				for (int k = i; k <= n; k++)
					a[i][k] = (a[i][k] + a[j][k] * (mo - tmp) % mo) % mo;
				swap(a[i], a[j]); zf = -zf;
			}
		}
		ans = ans * a[i][i] % mo;
	}
	
	if (zf == -1) ans = (-ans + mo) % mo;
	return ans;
}

int main() {
	scanf("%d %lld", &n, &mo);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			scanf("%d", &a[i][j]), a[i][j] %= mo;
	
	printf("%lld", work());
	
	return 0;
}