【luogu P6657】【模板】LGV 引理（行列式）（数学）（线性代数）

【模板】LGV 引理

题目链接：luogu P6657

题目大意

给你一个二维图，然后分别有 m 个棋子，分别要从 (ai,1) 走到 (bi,n)，只能从 (x,y) 走到 (x+1,y) 和 (x,y+1)。
然后问你有多少种走法，使得走过路径上的点互不相交。

思路

LGV 引理：
设 \(w(P)\) 为有向路径 \(P\) 上所有边权的乘积，然后 \(f(a,b)\) 为 \(a\rightarrow b\) 的所有有向路径边权乘积的和。

易得：
\(f(a,b)=\sum\limits_{P:a\rightarrow b}w(P)\)

然后列出矩阵：
\(A=\begin{bmatrix} f(a_1,b_1)&f(a_1,b_2)&\cdots&f(a_1,b_n)\\ f(a_2,b_1)&f(a_2,b_2)&\cdots&f(a_2,b_n)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ f(a_n,b_1)&f(a_n,b_2)&\cdots&f(a_n,b_n) \end{bmatrix}\)

然后路径不交的方案数就是它的行列式，即：
\(\sum\limits_{p}(-1)^{\tau(p)}\prod\limits_{i=1}^nA_{i,p_i}\)，其中 \(p\) 是一个排列，\(\tau(p)\) 指的是 \(p\) 中的逆序对数。

至于为什么呢，其实大概感觉一下也可以看出，就类似于一个小小的容斥，那你两个交叉的话，就可以让中间的那个段两个人走法交换，就不相交了。
所以就是这个样子。

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这道题：
其实还没有那么难，两个点之间就一个路径，然后 \(f(a,b)\) 用个组合数就有了：\(\dbinom{b_j-a_i+n-1}{n-1}\)

然后就搞就完事了。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 998244353

using namespace std;

int T, n, m, a[101], b[101];
ll f[101][101];
ll jc[2000001], inv[2000001];

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x % mo;
		x = x * x % mo;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

ll C(int n, int m) {
	return jc[n] * inv[m] % mo * inv[n - m] % mo;
}

ll work() {//高斯消元解行列式
	ll zf = 1, ans = 1, tmp;
	
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int k = i;
		for (int j = i + 1; j <= m; j++)
			if (f[j][i] > f[k][i]) k = j;
		if (!f[k][i]) return 0;
		if (k != i) swap(f[k], f[i]), zf = -zf;
		for (int j = i + 1; j <= m; j++) {
			if (f[j][i] > f[i][i]) swap(f[j], f[i]), zf = -zf;
			while (f[j][i]) {
				tmp = f[i][i] / f[j][i];
				for (int k = i; k <= m; k++)
					f[i][k] = (f[i][k] + f[j][k] * (mo - tmp) % mo) % mo;
				swap(f[j], f[i]); zf = -zf;
			}
		}
		
		ans = ans * f[i][i] % mo;
	}
	
	if (zf == -1) return (mo - ans) % mo;
	return ans;
}

int main() {
	jc[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 2000000; i++) jc[i] = jc[i - 1] * i % mo;
	inv[2000000] = ksm(jc[2000000], mo - 2);
	for (int i = 2000000 - 1; i >= 0; i--) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mo; 
	
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		scanf("%d %d", &n, &m);
		for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d %d", &a[i], &b[i]);
		
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			for (int j = 1; j <= m; j++)
				if (a[i] <= b[j]) f[i][j] = C(b[j] - a[i] + n - 1, n - 1);
					else f[i][j] = 0;
		
		printf("%lld\n", work());
	}
	
	return 0;
}