【luogu P5903】【模板】树上 k 级祖先（长链剖分）

【模板】树上 k 级祖先

题目链接：luogu P5903

题目大意

给你一棵树，要你在线 O(1) 求一个点的 k 级祖先。

思路

这个我们可以用长链剖分来做，从而可以做到预处理 \(O(n\log n)\) 询问 \(O(1)\)。

首先预处理：
最数进行长链剖分（就是找最长的一条链，可以通过深度来看），也是记录对应儿子。（\(O(n)\)）
然后倍增求 \(2^k\) 级父亲。（\(O(n\log n)\)）
然后每条长链，如果长度为 \(len\)，我们就求出从它的顶点出发，它向上的 \(len\) 个祖先和向下走长链的 \(len\) 个儿子。（\(O(n)\)）
然后再求每个数二进制最高位 \(g_k\)。（\(O(n)\)）

然后看询问怎么回答：
首先用倍增数组跳到 \(k\) 的最高位级父亲，那假设剩下 \(k'\) 级，那首先由 \(k'<2^{g_k}\)，而且因为是长链，所以 \(x\) 所在的长链的长度一定 \(\geqslant 2^{g_k}>k'\)。
那根据 \(len\)（长链长度）\(>k'\)，所以我们可以跳到链的顶点，然后看 \(k'-len=k''\)：
如果 \(k''>0\)，说明要的点还在上面，就用上面的。
如果 \(k''<0\)，说明要的点在下面，就用下面的。
（这两个就是 \(n\log n\) 预处理出来的那个）

然后就可以了。

代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#define ll long long

using namespace std;

const int N = 5e5 + 100;
int n, q, f[N][21], rt, lstans;
int deg[N], d[N], son[N], top[N], g[N];
vector <int> G[N], up[N], down[N];
ll ans;

#define ui unsigned int
ui s;

inline ui get(ui x) {
	x ^= x << 13;
	x ^= x >> 17;
	x ^= x << 5;
	return s = x; 
}

void dfs0(int now, int father) {
	d[now] = d[father] + 1; deg[now] = d[now];
	for (int i = 1; i <= 20; i++) f[now][i] = f[f[now][i - 1]][i - 1];
	for (int i = 0; i < G[now].size(); i++) {
		int x = G[now][i]; dfs0(x, now);
		if (deg[x] > deg[now]) deg[now] = deg[x], son[now] = x;
	}
}

void dfs1(int now, int father) {
	if (now == top[now]) {
		for (int i = 0, x = now; i <= deg[now] - d[now]; i++)
			up[now].push_back(x), x = f[x][0];
		for (int i = 0, x = now; i <= deg[now] - d[now]; i++)
			down[now].push_back(x), x = son[x];
	}
	if (son[now]) top[son[now]] = top[now], dfs1(son[now], now);
	for (int i = 0; i < G[now].size(); i++) {
		int x = G[now][i]; if (x == son[now]) continue;
		top[x] = x; dfs1(x, now);
	}
}

int Jump(int x, int k) {
	if (!k) return x;
	x = f[x][g[k]]; k -= (1 << g[k]);//先跳最高的 1
	k -= d[x] - d[top[x]]; x = top[x];//跳到这个长链的顶部
	return k >= 0 ? up[x][k] : down[x][-k];//直接找
}

int main() {
	scanf("%d %d %u", &n, &q, &s); g[0] = -1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &f[i][0]); if (!f[i][0]) rt = i;
		G[f[i][0]].push_back(i); g[i] = g[i >> 1] + 1;
	}
	
	dfs0(rt, 0); top[rt] = rt; dfs1(rt, 0);
	
	for (int qq = 1; qq <= q; qq++) {
		int x = ((get(s) ^ lstans) % n) + 1, k = (get(s) ^ lstans) % d[x];
		lstans = Jump(x, k); ans ^= 1ll * qq * lstans;
	}
	printf("%lld", ans);
	
	return 0;
}