【luogu P5496】【模板】回文自动机（PAM）（回文树）

【模板】回文自动机（PAM）

题目链接：luogu P5496

题目大意

给你一个字符串，要你对于字符串的每个位置，求有多少个回文串是在这个位置结尾的。

思路

为啥要用 PAM

首先我们想想处理字符串问题有什么方法：
KMP、AC 自动机
后缀数组后缀自动机
Manacher
哈希、DP、暴力等等。

但你发现如果要处理回文串的问题，哈希+二分复杂度太高，Manacher 只能针对整个串，在面对这样的题的时候，似乎没有什么办法。
于是，就有了一个叫做 PAM 的东西。

PAM 有啥用

它可以求一个字符串的某个前缀中出现了多少个不同的回文串。
统计在一个字符串中每个回文串出现的次数。
（也就是说它可以求回文串的个数）

它还可以求以下标 $i$ 结尾的回文串个数，也可以得出有哪些。

咋搞

那你同最后一个用处多多少少都能看出来，它是类似 AC 自动机一样的东西，有一个 $fail$ 指针，指向的位置就是它失配之后跳转到的表示它最长后缀回文串的点。
然后接着它有一些数组：
$len_i$ 表示第 $i$ 个点表示的回文串的长度。
$nxt_{i,j}$ 表示在第 $i$ 个点表示的回文串两边都加 $j$ 这个字符串形成的新回文串对于的点。（这个有点类似 Trie 数）
$fail_i$ 就是我们前面说的失配指针。
$sum_i$ 就是有多少个回文串的结束位置是它的结束位置。（这个就是用来求本题的答案啦）
$num_i$ 在不处理的时候没有意义，在跑了 $count()$ 函数之后，它就表示这个回文串在字符串中出现了多少次。
$lst$ 就是以最后一个字符结尾的最长的回文串的编号。
有的时候，我们还会顺手维护一个 $trans_i$，表示长度小于等于这个回文串的一半最长回文后缀。

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回文树比较神奇的地方，就是它有两个根：$0$ 表示偶数长度的根，$1$ 表示奇数长度的根。
然后由于你可能跳 $fail$ 边跳到空字符串之后可能会由原来的偶数长度变成奇数长度，所以 $fail_0=1,fail_1=0$。
然后我们设 $len_0=0,len_1=-1$，至于为什么 $len_1=-1$ 我们在后面会发现它的好处。

然后考虑在当前的字符串后面加一个字符，考虑怎么搞。
那首先肯定是跳 $fail$ 边直到碰到可以匹配这个新字符串。
那你肯定会想如果一直都无法匹配，就要搞特判，但其实 $len_1=-1$ 可以让我们不用特判。

首先不难想到判断是否能匹配是看 $s_{n-len_{x}-1}$ 是否等于 $s_n$。（$n$ 是当前字符串长度，$x$ 是现在跳到的位置）
那如果一直无法匹配，就会跑到 $1$，那这个时候带进去看：$s_{n-len_x-1}$ 就是 $s_{n-(-1)-1}$ 即 $s_n$，所以自己肯定等于自己，就会跳出来。

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接着就是匹配啦，那就会走到 $nxt_{x,s_n}$，那如果有了我们就不用管，但如果没有这个点，那我们就要新开一个点 $now$，并维护关系。
首先看 $len_{now}$，那就是从 $len_x$ 左右两边都加了 $s_n$ 这个字符，长度就加了 $2$。
而且这个时候也不同特判，如果它自己一个形成回文串，那就是 $len_{1}+2$，刚好就是 $1$。
接着你考虑维护 $fail_{now}$，那跟 AC 自动机的维护方式一样，你先不断跳 $fail$ 边找到 $fail_x$ 可以匹配的，然后它两边加 $s_n$ 这个字符对于的点就是 $fail_{now}$ 了。
接着就是连 $nxt_{x,s_n}$，这个就不多说了，$nxt_{x,s_n}=now$。有的时候还要记录父亲，这个也没什么麻烦的，直接 $fa_{now}=x$ 即可。
然后是 $sum_{now}$，那它其实就是比 $fail_{now}$ 多了一种回文串（它自己），所以就是 $sum_{fail_{now}}+1$。

那接着是 $trans_{now}$，那不难想到它也是类似 AC 自动机的匹配方式。
首先如果当前字符串的长度小于等于 $2$，那它要么长度是 $1$，要么是空，所以就直接 $trans_{now}=fail_{now}$。
那如果长的，那我们就考虑继续跳 $fail$ 边，但是是从 $trans_{x}$ 开始跳。（因为你只是要一半，你从 $fail_x$ 开始跳就太慢了会超时）
那首先跳到的要能匹配 $s_n$，接着就是要加上两边的两个 $s_n$ 字符之后长度还不超过当前串的长度的一半，那跳到就退出，然后它匹配上 $s_n$ 形成的回文串对于的点就是我们要的了。

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这里再讲讲 $count()$ 函数。
其实它就是从叶子到父亲不断的 DP 一下，因为如果一个 $A$ 是 $B$ 的子串，$B$ 是 $C$ 的子串，那 $A$ 是 $C$ 的子串。
所以在代码上就是倒序枚举点，然后 $num_{fail_i}=num_{fail_i}+num_i$ 就可以了。

这道题

其实就是每次插入点，然后输出 $sum_{lst}$ 即可。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

struct PAM {
	int len, nxt[26], fail, sum, num, trans;
}t[500002];
int sn, lastans, lst, tot, a[500001], n;
char s[500001];

int get_new(int l) {//建一个新的点
	t[++tot].len = l;
	for (int i = 0; i < 26; i++) t[tot].nxt[i] = 0;
	t[tot].fail = 0; t[tot].sum = 0; t[tot].num = 0; t[tot].trans = 0;
	return tot;
}

int get_fail(int x) {//像 AC 自动机一样匹配
	while (a[n - t[x].len - 1] != a[n]) x = t[x].fail;
	return x;
}

void insert(int x) {
	a[++n] = x;
	int cur = get_fail(lst);
	if (!t[cur].nxt[x]) {
		int now = get_new(t[cur].len + 2);//两边都扩展一格，所以长度加了 2
		t[now].fail = t[get_fail(t[cur].fail)].nxt[x];//建 fail 边
		t[cur].nxt[x] = now;//连儿子
		t[now].sum = t[t[now].fail].sum + 1;//后缀个数增加了它这个串
		if (t[now].len <= 2) t[now].trans = t[now].fail;//求 trans 数组
			else {
				int tmp = t[cur].trans;//也是像 AC 自动机一样跳 fail 边直到找到要的
				while (a[n - t[tmp].len - 1] != a[n] || ((t[tmp].len + 2) << 1) > t[now].len) tmp = t[tmp].fail;
				t[now].trans = t[tmp].nxt[x];
			}
	}
	lst = t[cur].nxt[x];
	t[lst].num++;//统计出现次数
}

void count() {//这个是求出这个回文串在这个字符串中出现的次数
	for (int i = tot; i >= 2; i--)
		t[t[i].fail].num += t[i].num;
}

int main() {
	scanf("%s", s + 1);
	sn = strlen(s + 1);
	
	lst = 0; t[0].len = 0; t[1].len = -1; tot = 1; a[0] = -1;//初始化
	t[1].fail = 0; t[0].fail = 1;//注意奇偶根的 fail 边是互相连着的
	for (int i = 1; i <= sn; i++) {
		insert((s[i] - 97 + lastans) % 26);
		lastans = t[lst].sum;
		printf("%d ", lastans);
	}
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/luogu_P5496.html
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