【luogu P4777】【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）（数论）

【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

题目链接：luogu P4777

题目大意

给你一些条件，要你找最小的 x，使得满足它被一些数取模的答案是要求的数。
模数不一定互质。

思路

不会 CRT 的自己先看看 CRT 怎么写。（点我查看）

不难想到，前面我们是将式子的答案选可以加载一起的直接加在一起。
但你不难想到你搞逆元的时候可能会没有逆元，因为模数与你要逆元的数可能并不互质。

那要怎么搞呢？我们重新考虑如何合并两条式子：
$x\equiv c_1(\bmod\ m_1)$
$x\equiv c_2(\bmod\ m_2)$
那首先很显然的是我们设 $M=\text{lcm}(m_1,m_2)$，如果有解，那一定是合并成这样：
$x\equiv c_3(\bmod\ M)$
那我们继续设 $t=\gcd(m_1,m_2)$，那根据我们可以得到这两个式子：
$c_3=c_1+a\times m_1(0\leqslant a< M/m_1)$
$c_3=c_2+b\times m_2(0\leqslant b< M/m_2)$
（后面 $a$ 的范围后面的限制 $M/m_1$ 也可以写成 $m_2/t$）
（$b$ 也同理）

那接着两个式子相等：
$c_1+a\times m_1=c_2+b\times m_2$
$c_2-c_1=a\times m_1-b\times m_2$
因为 $t=\gcd(m_1,m_2)$ 所以 $a\times m_1-b\times m_2$ 只能表示 $t$ 的倍数。（$a,b$ 是你要求的）
所以有解的条件就是 $t|(c_2-c_1)$

那接着你想，你要把 $a,b$ 其中一个消掉，就可以求另一个了。
那要怎么消呢？用取模。
你会发现前面有一个 $a<M/m_1$，而且它也可以写成 $m_2/t$。
那你发现你把前面的式子都除以 $t$：
$(c_2-c_1)/t=a\times m_1/t-b\times m_2/t$
然后再对 $m_2/t$ 取模，就有了 $(c_2-c_1)/t\equiv a\times m_1/t(\bmod\ (m_2/t))$
那就只剩 $a$ 了，我们搞一下，就有了：
$a=\text{inv}(m_1/t,m_2/t)\times(c_2-c_1)/t\bmod(m_2/t)$

然后把 $a$ 带入回 $c_3=c_1+a\times m_1$ 就可以了。

然后由于数据规模是 $10^{18}$，用乘法都会爆炸，那我们就用黑科技并不龟速的龟速乘。
然后不开 long long 见祖宗——我 是 傻 逼。

代码

#include<cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

int n;
ll a[100001], b[100001];

ll ksc(ll x, ll y, ll mo) {
	x %= mo;
	y %= mo;
	ll c = (long double)x * y / mo;
	long double re = x * y - c * mo;
	if (re < 0) re += mo;
		else if (re >= mo) re -= mo;
	return re;
}

ll gcd(ll x, ll y) {
	if (!y) return x;
	return gcd(y, x % y);
}

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
	if (!b) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	ll re = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= (a / b) * x;
	return re;
}

ll inv(ll a, ll mo) {
	ll x, y;
	exgcd(a, mo, x, y);
	x = (x % mo + mo) % mo;
	return x;
}

int main() {
//	freopen("read.txt", "r", stdin);
	
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld %lld", &a[i], &b[i]);
	
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		ll t = gcd(a[1], a[i]);
		ll M = a[i] / t * a[1];
		ll A = ksc(inv(a[1] / t, a[i] / t), (b[i] - b[1]) / t, a[i] / t);
		b[1] = ((b[1] + ksc(A, a[1], M)) % M + M) % M;
		a[1] = M;
	}
	
	printf("%lld", b[1]);
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/luogu_P4777.html
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