【luogu P4717】【模板】快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)（数学）

【模板】快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)

题目链接：luogu P4717

题目大意

给你两个长度为 2^n 的数组 A,B，设数组 C：
C[i]=sum{j⊕k=i}A[j]B[k]
分别当 ⊕ 是 or,and,xor 三种运算符时求出数组 C。

思路

嗯这里只会讲简单的 FWT，而且不说 FMT。
（毕竟听说 FMT 被 FWT 完爆所以就没学awa）
如果要看复杂的 FWT 可以看这位大佬的博客。

其实感觉这个 FWT 的过程其实就是类比了 FFT 这一类的方式。

$c_i=\sum\limits_{i=j⊕ k}a_jb_k$。

那我们先看就题目的三种运算。

或

$c_i=\sum\limits_{i=j|k}a_jb_k$
考虑搞点性质，发现 $j|i=i,k|i=i\rightarrow(k|j)|i=i$。

然后我们考虑构造 $fwt[a/b/c]_i$，使得 $fwt[a]_i*fwt[b]_i=fwt[c]_i$。
然后可以找到 $fwt[a]_i=\sum\limits_{j|i=i}a_j$。
$fwt[a]_i*fwt[b]_i=(\sum\limits_{j|i=i}a_j)(\sum\limits_{k|i=i}b_k)$
$=\sum\limits_{j|i=i}\sum\limits_{k|i=i}a_jb_k=\sum\limits_{(j|k)|i=i}a_jb_k=fwt[c]_i$

然后接着就是考虑 $fwt[a]_i$ 这些怎么快速求。
考虑先看下标二进制的最高位，然后让 $a0$ 表示它下标最高位为 $0$ 的那部分序列，$a1$ 表示为 $1$ 的那部分。
然后根据或的性质就有：
$fwt[a]_i=(fwt[a0]_i,fwt[a0]+fwt[a1])$
（就是这两个部分拼在一起，加号是每个位置加起来）

然后至于从 $fwt[a]_i$ 求会 $a$ 可以根据上面的反过来得到：
$a=(a0,a1-a0)$

然后你会发现它的形式很像 FFT/NTT 里面的，然后你就类似着搞就可以了。

与

跟着或的道理，你会发现是：
$fwt[a]_i=(fwt[a0]_i+fwt[a1],fwt[a1])$
$a=(a0-a1,a1)$

异或

这个就不一样的，考虑再找性质：
如果我们让 $x⊕y=count1(x\&y)\bmod 2$（$count(1)$ 是二进制中 $1$ 的个数）
然后你会发现有 $(i⊕j)xor(i⊕k)=i⊕(j\ xor\ k)$（你分类讨论一下会发现确实是这样的）

然后你就构造，可以得到：
$fwt[a]_i=\sum\limits_{i⊕j=0}a_j-\sum\limits_{i⊕j=1}a_j$

然后：
$fwt[a]=(fwt[a0]+fwt[a1],fwt[a0]-fwt[a1])$
$a=(\dfrac{a0+a1}{2},\dfrac{a0-a1}{2})$

构造怎么弄的？

相信你看了这三个的构造 $fwt[a]_i$ 数组的结果，会有那么一丝丝的疑惑：为啥能想到这个构造方法。

那我们就简单讲讲如何构造 FWT 中的这个数组。
首先我们用未知数表示：
$fwt[a]_i=\sum\limits_{j=0}^{n-1}s(i,j)a_j$

然后列出要求的式子：
$fwt[a]_i*fwt[b]_i=fwt[c]_i$
$\sum\limits_{j=0}^{n-1}s(i,j)a_j\sum\limits_{k=0}^{n-1}s(i,k)b_k=\sum\limits_{p=0}^{n-1}s(i,p)c_p$
$\sum\limits_{j=0}^{n-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}s(i,j)s(i,k)a_jb_k=\sum\limits_{p=0}^{n-1}s(i,p)c_p$
然后再有 $a*b=c$：
$c_p=\sum\limits_{j\oplus k=p}a_jb_k$
$\sum\limits_{p=0}^{n-1}s(i,p)c_p=\sum\limits_{p=0}^{n-1}s(i,p)\sum\limits_{j\oplus k=p}a_jb_k$
$\sum\limits_{j=0}^{n-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}s(i,j)s(i,k)a_jb_k=\sum\limits_{p=0}^{n-1}s(i,p)\sum\limits_{j\oplus k=p}a_jb_k=\sum\limits_{p=0}^{n-1}\sum\limits_{j\oplus k=p}a_jb_ks(i,j\oplus k)=\sum\limits_{j=0}^{n-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_jb_ks(i,j\oplus k)$
$\sum\limits_{j=0}^{n-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}s(i,j)s(i,k)a_jb_k=\sum\limits_{j=0}^{n-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_jb_ks(i,j\oplus k)$

所以我们就需要让 $s(i,j)s(i,k)=s(i,j\oplus k)$。
接着就要用到 FWT 最特别的地方了：它是解决有关位运算的问题的。
也就是说它二进制每一位是互相独立的！

所以假设我们已经求出来对于一位的 $s([0,1],[0,1])$，那我们就可以构造出所有的 $s$：
设 $a$ 二进制的每一位是 $a_0,a_1,a_2,...$，那 $s(i,j)=s(i_0,j_0)s(i_1,j_1)s(i_2,j_2)...$，就是每位的乘起来。
那么对于每一位：
$s(i,j)s(i,k)=s(i,j\oplus k)\Leftrightarrow s(i_t,j_t)s(i_t,k_t)=s(i_t,j_t\oplus k_t)$

那这个我们就可以每一位通过 $0,1$ 的分类讨论求解，得到符合的 $s$。
而且在 or,and,xor 中它们的符合的 $s$ 其实是有两种的，那我们选随便一个都可以用了。
比如 or 的是有这两种：
$\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{bmatrix}$

那构造就构造好啦！

$fwt[a]$ 的求法感觉还是有点迷

那我们继续用上面的来：
$fwt[a]_i=\sum\limits_{j=0}^{n-1}s(i,j)a_j$

继续折半：$\sum\limits_{j=0}^{n/2-1}s(i,j)a_j+\sum\limits_{j=n/2}^{n-1}s(i,j)a_j$
然后也想前面那样 $i'$ 为 $i$ 去掉二进制首位的数。
$\sum\limits_{j=0}^{n/2-1}s(i_0,j_0)s(i',j')a_j+\sum\limits_{j=n/2}^{n-1}s(i_0,j_0)s(i',j')a_j$
$\sum\limits_{j=0}^{n/2-1}s(i_0,0)s(i',j')a_j+\sum\limits_{j=n/2}^{n-1}s(i_0,1)s(i',j')a_j$
那 $c(i',j')$ 就是去掉首位的，规模自然减半。
当 $i_0=0$ 即 $0\leqslant i<n/2$，$fwt[a]_i=s(0,0)fwt(a_0)_i+s(0,1)fwt(a_1)_i$
当 $i_0=1$ 即 $n/2\leqslant <n$，$fwt[a]_i=s(1,0)fwt(a_0)_i+s(1,1)fwt(a_1)_i$

然后如果是 $ifwt$（就是从 $fwt[a]$ 到 $a$）就是把 $s$ 这个矩阵求逆。

扩展一下，如果不是位运算还有可能用的上吗

其实是可以的，因为位运算你可以看做是 $n$ 维 $01$ 向量做运算：
or 是取 $\max$，and 是取 $\min$，xor 是每一维相加的结果 $\bmod\ 2$。

那我们可以扩展到 $[0,k)$，那我们要的 $s$ 就是一个 $k*k$ 的矩阵，然后暴力算是 $k^{n+1}n$。
然后这些矩阵也可以快速算，$\max\min$ 是高位前缀和压掉一个 $k$，$\mod k$ 的话列 $s$ 可以用范德蒙德矩阵。
然后可以用 FTT 把一个 $k$ 变成 $\log k$。

r然而又因为单位根模的意义下可能不存在，所以你要通过再来一个 $k$ 的复杂度以及一通神仙操作（别想了我不可能会的去看那位大佬的博客吧）

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define mo 998244353
#define cpy(f, g, n) memcpy(f, g, sizeof(int) * (n))
#define clr(f, n) memset(f, 0, sizeof(int) * (n))

using namespace std;

const int N = (1 << 17);
int n, f[N], g[N], inv2, tmp[N];

int jia(int x, int y) {return x + y >= mo ? x + y - mo : x + y;}
int jian(int x, int y) {return x - y < 0 ? x - y + mo : x - y;}
int cheng(int x, int y) {return 1ll * x * y % mo;}

void px(int *f, int *g, int n) {
	for (int i = 0; i < n; i++)
		f[i] = cheng(f[i], g[i]);
}

void FWT_or(int *f, int n, int op) {
	for (int mid = 1; mid < n; mid <<= 1)
		for (int j = 0; j < n; j += (mid << 1))
			for (int k = 0; k < mid; k++) {
				int x = f[j | k], y = f[j | mid | k];
				f[j | k] = x; f[j | mid | k] = jia(cheng((op == 1) ? 1 : mo - 1, x), y);
			}
}

void FWT_and(int *f, int n, int op) {
	for (int mid = 1; mid < n; mid <<= 1)
		for (int j = 0; j < n; j += (mid << 1))
			for (int k = 0; k < mid; k++) {
				int x = f[j | k], y = f[j | mid | k];
				f[j | k] = jia(x, cheng((op == 1) ? 1 : mo - 1, y)); f[j | mid | k] = y;
			}
}

void FWT_xor(int *f, int n, int op) {
	for (int mid = 1; mid < n; mid <<= 1)
		for (int j = 0; j < n; j += (mid << 1))
			for (int k = 0; k < mid; k++) {
				int x = f[j | k], y = f[j | mid | k];
				f[j | k] = jia(x, y); f[j | mid | k] = jian(x, y);
				if (op == -1) f[j | k] = cheng(f[j | k], inv2), f[j | mid | k] = cheng(f[j | mid | k], inv2);
			}
}

void cheng_or(int *f, int *g, int n) {
	static int Tmp[N];
	cpy(Tmp, g, n);
	FWT_or(f, n, 1); FWT_or(Tmp, n, 1);
	px(f, Tmp, n); FWT_or(f, n, -1);
	clr(Tmp, n);
}

void cheng_and(int *f, int *g, int n) {
	static int tmp[N];
	cpy(tmp, g, n);
	FWT_and(f, n, 1); FWT_and(tmp, n, 1);
	px(f, tmp, n); FWT_and(f, n, -1);
	clr(tmp, n);
}

void cheng_xor(int *f, int *g, int n) {
	static int tmp[N];
	cpy(tmp, g, n);
	FWT_xor(f, n, 1); FWT_xor(tmp, n, 1);
	px(f, tmp, n); FWT_xor(f, n, -1);
	clr(tmp, n);
}

int main() {
	scanf("%d", &n); n = (1 << n);
	for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &f[i]);
	for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &g[i]);
	
	inv2 = (mo + 1) / 2;
	cpy(tmp, f, n); cheng_or(tmp, g, n); for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", tmp[i]); puts("");
	cpy(tmp, f, n); cheng_and(tmp, g, n); for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", tmp[i]); puts("");
	cpy(tmp, f, n); cheng_xor(tmp, g, n); for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", tmp[i]); puts("");
	
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/luogu_P4717.html
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