【luogu P4512】【模板】多项式除法

【模板】多项式除法

题目链接：luogu P4512

题目大意

给你一个 n 次多项式 F(x) 和 m 次多项式 G(x)，要你求出多项式 Q(x),R(x) 使得 Q(x) 为 n-m 次多项式，R(x) 项数小于 m，然后 F(x)=Q(x)*G(x)+R(x)。

思路

考虑到如果没有余数就是直接多项式求逆，但是有余数，所以问题就在于怎么把余数消掉。

那我们一般的取模是消掉高项的，但是余数是低项的，所以我们考虑一个操作叫做翻转，然后有一个这样的定义方法：
\(F^T(x)=x^nF(x^{-1})\)
其实挺显然的，就原本在 \(x^i\) 的变成了 \(x^{n-i}\)。

然后考虑推给的式子：\(F(x)=Q(x)*G(x)+R(x)\)
然后换元：\(F(x^{-1})=Q(x^{-1})*G(x^{-1})+R(x^{-1})\)
集体乘 \(x^n\)：\(x^nF(x^{-1})=x^nQ(x^{-1})*G(x^{-1})+x^nR(x^{-1})\)

然后你可以看这几个多项式的项数分别是多少：
\(F(x)\)：\(n\)，\(G(x)\)：\(m\)，\(Q(x)\)：\(n-m\)，\(R(x)\)：\(m-1\)
\(x^nF(x^{-1})=x^{n-m}Q(x^{-1})*x^mG(x^{-1})+x^{n-m+1}*x^{m-1}R(x^{-1})\)
\(F^T(x)=Q^T(x)*G^T(x)+x^{n-m+1}R^T(x)\)

然后你会发现它（\(R^T(x)\)）变成了高项的，然后你可以在 \({\pmod {x^{n-m+1}}}\) 的条件下进行。
\(F^T(x)=Q^T(x)*G^T(x)\pmod{x^{n-m+1}}\)

然后后面的操作都能看出了：
\(Q^T(x)=F^T(x)*G^T(x)^{-1}\pmod{x^{n-m+1}}\)

那就可以做了，先得到翻转的 \(F^T,G^T\)。
然后 \(G^T\) 逆元求出来，然后乘起来就是答案啦。
然后通过 \(F(x)=Q(x)*G(x)+R(x)\) 有 \(R(x)=F(x)-Q(x)*G(x)\)，所以乘一下减一下就有了。

然后要小小注意的是范围要注意一下，因为你有取模所以你要把以外的都直接清空掉。

然后就没什么了。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 998244353
#define clr(f, n) memset(f, 0, (n) * sizeof(int))
#define cpy(f, g, n) memcpy(f, g, (n) * sizeof(int))

using namespace std;

const int N = 100000 * 8 + 1;
int n, m, f[N], g[N], an[N], inv[N], G = 3, Gv;

int jia(int x, int y) {return x + y >= mo ? x + y - mo : x + y;}
int jian(int x, int y) {return x < y ? x - y + mo : x - y;}
int cheng(int x, int y) {return 1ll * x * y % mo;}
int ksm(int x, int y) {int re = 1; while (y) {if (y & 1) re = cheng(re, x); x = cheng(x, x); y >>= 1;} return re;}

void Init() {
	Gv = ksm(G, mo - 2);
	inv[0] = inv[1] = 1; for (int i = 2; i < N; i++) inv[i] = cheng(inv[mo % i], mo - mo / i);
}

void get_an(int limit, int l_size) {
	for (int i = 0; i < limit; i++)
		an[i] = (an[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l_size - 1)); 
}

void NTT(int *f, int limit, int op) {
	for (int i = 0; i < limit; i++) if (an[i] < i) swap(f[an[i]], f[i]);
	for (int mid = 1; mid < limit; mid <<= 1) {
		int Wn = ksm(op == 1 ? G : Gv, (mo - 1) / (mid << 1));
		for (int R = (mid << 1), j = 0; j < limit; j += R) {
			int w = 1;
			for (int k = 0; k < mid; k++, w = cheng(w, Wn)) {
				int x = f[j | k], y = cheng(w, f[j | mid | k]);
				f[j | k] = jia(x, y); f[j | mid | k] = jian(x, y);
			}
		}
	}
	if (op == -1) {
		int limv = ksm(limit, mo - 2);
		for (int i = 0; i < limit; i++) f[i] = cheng(f[i], limv);
	}
}

void px(int *f, int *g, int limit) {
	for (int i = 0; i < limit; i++)
		f[i] = cheng(f[i], g[i]);
}

void times(int *f, int *g, int n, int m) {
	static int tmp[N];
	int limit = 1, l_size = 0; while (limit <= n + n) limit <<= 1, l_size++;
	cpy(tmp, g, n); clr(tmp + n, limit - n);
	get_an(limit, l_size);
	NTT(f, limit, 1); NTT(tmp, limit, 1);
	px(f, tmp, limit); NTT(f, limit, -1);
	clr(f + m, limit - m); clr(tmp, limit);
}

void invp(int *f, int n) {
	static int w[N], r[N], tmp[N];
	w[0] = ksm(f[0], mo - 2);
	int limit = 1, l_size = 0;
	for (int len = 2; (len >> 1) <= n; len <<= 1) {
		limit = len; l_size++; get_an(limit, l_size);
		cpy(r, w, len >> 1);
		cpy(tmp, f, limit); NTT(tmp, limit, 1);
		NTT(r, limit, 1); px(r, tmp, limit);
		NTT(r, limit, -1); clr(r, limit >> 1);
		cpy(tmp, w, len); NTT(tmp, limit, 1);
		NTT(r, limit, 1); px(r, tmp, limit);
		NTT(r, limit, -1);
		for (int i = (len >> 1); i < len; i++)
			w[i] = jian(cheng(w[i], 2), r[i]);
	}
	cpy(f, w, n); clr(w, n); clr(r, n); clr(tmp, n);
}

void dao(int *f, int n) {
	for (int i = 1; i < n; i++)
		f[i - 1] = cheng(f[i], i);
	f[n - 1] = 0;
}

void jifen(int *f, int n) {
	for (int i = n; i >= 1; i--)
		f[i] = cheng(f[i - 1], inv[i]);
	f[0] = 0;
}

void lnp(int *f, int n) {
	static int g[N];
	cpy(g, f, n); dao(g, n);
	invp(f, n); times(f, g, n, n);
	jifen(f, n - 1); clr(g, n);
}

void mof(int *f, int n, int *g, int m) {
	static int f_[N], g_[N];
	int L = n - m + 1;
	reverse(f, f + n); cpy(f_, f, L); reverse(f, f + n); 
	reverse(g, g + m); cpy(g_ , g, L); reverse(g, g + m);
	invp(g_, L); times(g_, f_, L, L); reverse(g_, g_ + L);
	
	times(g, g_, n, n);
	for (int i = 0; i < m - 1; i++) g[i] = jian(f[i], g[i]);
	clr(g + m - 1, L);
	cpy(f, g_, L); clr(f + L, n - L);
}

int main() {
	Init();
	
	scanf("%d %d", &n, &m); n++; m++;
	for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &f[i]);
	for (int i = 0; i < m; i++) scanf("%d", &g[i]);
	
	mof(f, n, g, m);
	
	for (int i = 0; i < n - m + 1; i++) printf("%d ", f[i]); printf("\n");
	for (int i = 0; i < m - 1; i++) printf("%d ", g[i]);
	
	return 0;
}