【luogu P4238】【模板】多项式乘法逆（NTT）（倍增）

【模板】多项式乘法逆

题目链接：luogu P4238

题目大意

给你一个多项式 F(x)，要你求一个多项式 G(x)，使得 F(x)*G(x)≡1(mod x^n)，系数对 998244353 取模。

思路

考虑用倍增的方法。
首先只有 \(1\) 项的时候，就直接是逆元。

然后我们考虑已知 \(0\sim \frac{n}{2}\) 项的答案 \(G'(x)\)，然后求 \(0\sim n\) 的答案 \(G(x)\)。（不难看出后面增加不会影响前面的）

那就有 \(G'(x)=G(x)\pmod{x^{\frac{n}{2}}}\)
即 \(G'(x)-G(x)=0\pmod{x^{\frac{n}{2}}}\)

我们考虑把 \(\pmod{x^{\frac{n}{2}}}\) 变成 \(\pmod{x^{n}}\)，用平方。
\((G'(x)-G(x))^2=0\pmod{x^{n}}\)
\(G'(x)^2-2G(x)G'(x)+G(x)^2=0\pmod{x^{n}}\)

然后每一项和右边的 \(0\) 都乘上 \(F(x)\)：
\(F(x)G'(x)^2-2G'(x)+G(x)=0\pmod{x^{n}}\)
\(G(x)=2G'(x)-F(x)G'(x)^2\pmod{x^{n}}\)

然后就可以用多项式 NTT 来算右边，然后直接 \(O(n)\) 加就好了。

然后好像有一个小小可以优化的方法：
你先算 \(F(x)G'(x)\)，然后再乘上 \(G'(x)\)。

然后由于我们只要 \(\frac{n}{2}\sim n-1\) 项的。
你第一次乘的时候前面 \(0\sim \frac{n}{2}-1\) 项都是 \(0\)（因为它们在 \(\bmod{x^{\frac{n}{2}}}\) 的时候是 \(0\)）
所以前面可以直接省去，然后第二次也可以直接省去前面的。

所以就不用每次都扩大多项式的范围，就可以节省时间。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 998244353

#define clear(f, n) memset(f, 0, n * sizeof(ll))
#define cpy(f, g, n) memcpy(f, g, n * sizeof(ll))

using namespace std;

int n, an[300001], limit, l_size;
ll f[300001], G, Gv;
ll w[300001], r[300001], tmp[300001];

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x % mo;
		x = x * x % mo;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

void get_an() {
	for (int i = 0; i < limit; i++)
		an[i] = (an[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l_size - 1));
}

void NTT(ll *f, ll op) {//NTT
	get_an();
	for (int i = 0; i < limit; i++)
		if (i < an[i]) swap(f[i], f[an[i]]);
	
	for (int mid = 1; mid < limit; mid <<= 1) {
		ll Wn = ksm(op == 1 ? G : Gv, (mo - 1) / (mid << 1));
		for (int R = (mid << 1), j = 0; j < limit; j += R) {
			ll w = 1;
			for (int k = 0; k < mid; k++, w = w * Wn % mo) {
				ll x = f[j + k], y = w * f[j + mid + k] % mo;
				f[j + k] = (x + y) % mo;
				f[j + mid + k] = (x - y + mo) % mo;
			}
		}
	}
	
	if (op == -1) {//在这里直接乘了
		ll liv = ksm(limit, mo - 2);
		for (int i = 0; i < limit; i++)
			f[i] = f[i] * liv % mo;
	}
}

void px(ll *x, ll *y) {
	for (int i = 0; i < limit; i++)
		x[i] = x[i] * y[i] % mo;
}

void cheng(ll *x, int n, ll *y, int m) {//只是写着，并没有用
	limit = 1; l_size = 0;
	while (limit < n + m + 1) {
		limit <<= 1; l_size++;
	}
	NTT(x, 1); NTT(y, 1);
	px(x, y); NTT(x, -1);
}

void invp(ll *F, int n) {
	w[0] = ksm(F[0], mo - 2);
	l_size = 0;
	for (int len = 2; (len >> 1) <= n; len <<= 1) {//倍增
		limit = len; l_size++;
		for (int i = 0; i < (len >> 1); i++) r[i] = w[i];
		cpy(tmp, F, len);//按着操作来把三个乘上
		NTT(tmp, 1); NTT(r, 1);
		px(r, tmp); NTT(r, -1);
		clear(r, (len >> 1));
		cpy(tmp, w, len);
		NTT(tmp, 1); NTT(r, 1);
		px(r, tmp); NTT(r, -1);
		
		for (int i = len >> 1; i < len; i++)//按着公式弄
			w[i] = (w[i] * 2 - r[i] + mo) % mo;
	}
	cpy(F, w, n);
	clear(tmp, n); clear(w, n); clear(r, n);//清空为好
}

int main() {
	G = 3; Gv = ksm(G, mo - 2);
	
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%lld", &f[i]);
	
	invp(f, n);
	
	for (int i = 0; i < n; i++) printf("%lld ", f[i]);
	
	return 0;
}