【luogu P3781】【LOJ 2269】切树游戏（FWT）（DDP）

切树游戏

题目链接：luogu P3781 / LOJ 2269

题目大意

给你一棵树，会有单点修改，要你在其中求有多少棵子树的权值异或和是一个询问的 k。

思路

首先考虑没有修改的 DP。

先是最暴力的：$f_{i,j}$ 为 $i$ 的子树，当前选的子树有 $i$，异或和为 $j$。
询问答案 $k$ 就是 $\sum\limits_{i=1}^nf_{k,j}$。
然后转移是枚举子树 $son$：$f_{i,j}=\sum\limits_{x\oplus y=j}f_{i,x}f_{son,y}+f_{i,j}$。
然后这个显然是可以用 FWT 优化的：$nf_{i}=FWT[a_i]$
（其实卷积起来就是 $f_{i,k}=nf_{i,k}\prod\limits_{son}(f_{son,k}+1)$）

然后至于答案我们可以搞 $h_{i,k}=f_{i,k}+\sum\limits_{son}h_{son,k}$。

那我们这个就可以搞，然后搞出来最后 IFWT 转回去。
那一次的复杂度是 $O(nm\log m)$。

---

考虑加上动态改点，发现上面的 DP 其实还算简单，我们考虑 DDP。
那还是轻重链剖分，然后重儿子是 $hson_x$。
那我们设 $lf_{x,k}=nf_{x,k}\prod\limits_{son\wedge son\neq hson_{x}}(f_{son,k}+1)$
$lh_{x,k}=\sum\limits_{son\wedge son\neq hson_{x}}lh_{son,k}$
然后你会发现这个 $k$ 一直只跟自己有关联，然后一直挂在这里很烦，那我们考虑把上面转移那些去掉 $k$ 的一维，然后把它们当做数组转移。
（因为你都跟自己有关，所以加减乘除都是 $O(m)$ 的，就不用卷积）

然后看看怎么转移，准备上矩阵。
$f_{x}=lf_{x}(f_{hson_x}+1)$
$h_x=f_x+lh_x+h_{hson_x}=lf_{x}(f_{hson_x}+1)+lh_x+h_{hson_x}$

然后你就可以尝试建矩阵啦！
先搞一个 $\begin{vmatrix}f_x\\ h_x\\ 1\end{vmatrix}$
然后要通过乘一个矩阵把 $\begin{vmatrix}f_{hson_x}\\ h_{hson_x}\\ 1\end{vmatrix}$ 变成 $\begin{vmatrix}f_x\\ h_x\\ 1\end{vmatrix}$。
然后可以构造出：
$\begin{vmatrix}lf_x&0& lf_x\\ lf_x&1&lf_x+lh_x\\ 0&0&1\end{vmatrix}*\begin{vmatrix}f_{hson_x}\\ h_{hson_x}\\ 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}f_x\\ h_x\\ 1\end{vmatrix}$

然后就可以用这个矩阵搞，复杂度为 $O(qlog^{(2)}nm*27)$，好像有点大，就算用全局平衡二叉树也过不去。

然后我们看到这个矩阵的样子比较特别，考虑手玩一下：
$\begin{vmatrix}a_1&0& b_1\\ c_1&1&d_1\\ 0&0&1\end{vmatrix}*\begin{vmatrix}a_2&0& b_2\\ c_2&1&d_2\\ 0&0&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1a_2&0& a_1b_2+b_1\\ a_2c_1+c_2&1&c_1b_2+d_2+d_1\\ 0&0&1\end{vmatrix}$
然后你会发现你只用维护四个值，而且它们怎么维护是固定的，所以常数就变成了 $4$，用平衡二叉树就可以过啦！
（好像说 luogu 树链剖分被卡了的说）

然后至于实现的话。。。多用结构体。
具体一下就是你矩阵里面每个值是数组用结构体，轻边的维护不能直接转移，因为你修改的时候要除，但是里面可能是 $0$，所以你要再弄一个结构体专门来轻边的转移，就是一个正常的数组加上一个表示数组每一位乘了 $0$ 的个数。
然后你乘 $0$ 就不乘而是加 $0$ 的个数，除就是减，然后弄一个函数把它转回乘整除的数组，就是 $O(m)$ 枚举一次把有 $0$ 的变成 $0$。
然后建议全局平衡二叉树也可以封装一下。

（麻了代码是真的长）

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int mo = 1e4 + 7;
const int N = 3e4 + 10;
const int M = 128;
struct node {
	int to, nxt;
}e[N << 1];
int n, m, a[N], inv[N], le[N], KK;
int sz[N], son[N], ans[M];
char c;

int jia(int x, int y) {return x + y >= mo ? x + y - mo : x + y;}
int jian(int x, int y) {return x < y ? x - y + mo : x - y;}
int cheng(int x, int y) {return x * y % mo;}

void FWT(int *f, int limit, int op) {//FWT
	for (int mid = 1; mid < limit; mid <<= 1) {
		for (int R = mid << 1, j = 0; j < limit; j += R)
			for (int k = 0; k < mid; k++) {
				int x = f[j | k], y = f[j | mid | k];
				f[j | k] = jia(x, y); f[j | mid | k] = jian(x, y);
				if (op == -1) f[j | k] = cheng(f[j | k], inv[2]), f[j | mid | k] = cheng(f[j | mid | k], inv[2]);
			}
	}
}

void add(int x, int y) {e[++KK] = (node){y, le[x]}; le[x] = KK;}

void dfs(int now, int father) {//重链剖分
	sz[now] = 1;
	for (int i = le[now]; i; i = e[i].nxt)
		if (e[i].to != father) {
			dfs(e[i].to, now); sz[now] += sz[e[i].to];
			if (sz[e[i].to] > sz[son[now]]) son[now] = e[i].to;
		}
}

struct poly {//记得你矩阵里面每个值都是一个数组，那加减我们得维护
	int f[M];
	
	int& operator [](int& x) {return f[x];}
	poly operator +(poly y) {poly re; for (int i = 0; i < m; i++) re[i] = jia(f[i], y[i]); return re;}
	poly operator -(poly y) {poly re; for (int i = 0; i < m; i++) re[i] = jian(f[i], y[i]); return re;}
	poly operator *(poly y) {poly re; for (int i = 0; i < m; i++) re[i] = cheng(f[i], y[i]); return re;}
	poly operator /(poly y) {poly re; for (int i = 0; i < m; i++) re[i] = cheng(f[i], inv[y[i]]); return re;}
	void operator +=(poly y) {for (int i = 0; i < m; i++) f[i] = jia(f[i], y[i]);}
	void operator -=(poly y) {for (int i = 0; i < m; i++) f[i] = jian(f[i], y[i]);}
}one, ee[N];

struct matrix {
	poly a[2][2];
	
	poly* operator [](const int& x) {return a[x];}
	matrix operator *(matrix b) {//优化了的矩阵转移
		matrix re;
		re[0][0] = a[0][0] * b[0][0];
		re[0][1] = a[0][0] * b[0][1] + a[0][1];
		re[1][0] = b[0][0] * a[1][0] + b[1][0];
		re[1][1] = a[1][0] * b[0][1] + b[1][1] + a[1][1];
		return re;
	}
};

struct Light {//对于轻边上的转移我们可以单独开一个结构体，因为要记录 0 个数
	int num0[M], val[M];
	
	void change(int pl, int va) {
		if (!va) num0[pl] = val[pl] = 1;
			else num0[pl] = 0, val[pl] = va;
	}
	
	void operator *=(poly f) {
		for (int i = 0; i < m; i++)
			if (!f.f[i]) num0[i]++;
				else val[i] = cheng(val[i], f.f[i]);
	}
	
	void operator /=(poly f) {
		for (int i = 0; i < m; i++)
			if (!f.f[i]) num0[i]--;
				else val[i] = cheng(val[i], inv[f.f[i]]);
	}
};

poly get_poly(Light &b) {//把轻边的结构体转回给数组
	poly x; for (int i = 0; i < m; i++) x[i] = b.num0[i] ? 0 : b.val[i]; return x;
}

struct BST {//全局平衡二叉树
	Light lf[N]; poly lh[N];
	int fa[N], ls[N], rs[N], root, sta[N], ssz[N];
	matrix val[N], sum[N];
	
	bool nrt(int x) {
		return ls[fa[x]] == x || rs[fa[x]] == x;
	}
	
	void Make_val(int now, int to) {//求 lf,lh （轻边的值转移） 
		lf[now] *= (sum[to][1][0] + one);
		lh[now] += sum[to][1][1];
	}
	
	void Clean_val(int now, int to) {
		lf[now] /= (sum[to][1][0] + one);
		lh[now] -= sum[to][1][1];
	}
	
	void Make_Val(int now) {//建矩阵 
		val[now][0][0] = val[now][0][1] = val[now][1][0] = val[now][1][1] = get_poly(lf[now]);
		val[now][1][1] += lh[now];
	}
	
	void up(int now) {
		sum[now] = sum[ls[now]] * val[now] * sum[rs[now]];
	}
	
	int buildT(int l, int r) {
		if (l > r) return 0;
		int tot = 0; for (int i = l; i <= r; i++) tot += ssz[sta[i]];
		for (int i = l, now = ssz[sta[i]]; i <= r; i++, now += ssz[sta[i]])
			if (now * 2 >= tot) {
				ls[sta[i]] = buildT(l, i - 1); rs[sta[i]] = buildT(i + 1, r);
				fa[ls[sta[i]]] = fa[rs[sta[i]]] = sta[i]; up(sta[i]); return sta[i];
			}
	}
	
	int build(int now, int fr) {
		for (int i = now; i; fr = i, i = son[i]) {
			for (int j = le[i]; j; j = e[j].nxt)
				if (e[j].to != fr && e[j].to != son[i]) {
					int x = build(e[j].to, i); fa[x] = i;
					Make_val(i, x);
				}
			Make_Val(i);
		}
		sta[0] = 0;
		for (int i = now; i; i = son[i]) sta[++sta[0]] = i, ssz[i] = sz[i] - sz[son[i]];
		reverse(sta + 1, sta + sta[0] + 1);//反转，因为也是从下到上DP的 
		return buildT(1, sta[0]);
	}
	
	void Init() {
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			for (int j = 0; j < m; j++)
				lf[i].change(j, ee[i][j]);
		val[0][0][0] = sum[0][0][0] = one;
		root = build(1, 0);
	}
	
	void change(int x, int y) {
		lf[x] /= ee[x];
		for (int i = 0; i < m; i++) ee[x][i] = 0; a[x] = y; ee[x][a[x]] = 1;
		FWT(ee[x].f, m, 1); lf[x] *= ee[x]; Make_Val(x);
		for (; x; x = fa[x]) {
			if (nrt(x)) up(x);//重链上直接上传
				else {//轻链要修改好父亲的值，上传
					Clean_val(fa[x], x); up(x); Make_val(fa[x], x); Make_Val(fa[x]);
				}
		}
	}
	
	void update_ans() {
		for (int i = 0; i < m; i++) ans[i] = sum[root][1][1][i];
		FWT(ans, m, -1);
	}
}T;

void Init() {
	for (int i = 0; i < m; i++) one[i] = 1;
	inv[0] = inv[1] = 1; for (int i = 2; i < mo; i++) inv[i] = cheng(inv[mo % i], mo - mo / i);
}

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m); Init();
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), ee[i][a[i]] = 1, FWT(ee[i].f, m, 1);
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		int x, y; scanf("%d %d", &x, &y); add(x, y); add(y, x);
	}
	
	dfs(1, 0);
	T.Init();
	T.update_ans(); 
	
	int q; scanf("%d", &q);
	while (q--) {
		c = getchar(); while (c != 'C' && c != 'Q') c = getchar();
		if (c == 'C') {
			while (c != ' ') c = getchar();
			int x, y; scanf("%d %d", &x, &y);
			T.change(x, y); T.update_ans();
		}
		else {
			while (c != ' ') c = getchar();
			int x; scanf("%d", &x);
			printf("%d\n", ans[x]);
		}
	}
	
	return 0;
}

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本文作者：あおいSakura
本文链接：https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/luogu_P3781.html
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