【luogu P3172】选数（数学）（容斥）（DP）

选数

题目链接：luogu P3172

题目大意

你可以在 [L,H] 区间中选 N 个数（可以相同），然后要它们的 gcd 恰好为 K，然后问有多少种选的方案。

思路

首先你考虑你可以枚举 \(K\) 的倍数作为 \(\gcd\)，然后容斥得到 \(K\) 为 \(\gcd\) 的。
然后假设你看 \(x\) 的时候你就会发现就是要找 \([L,H]\) 区间有多少个数是 \(x\) 的倍数。

那我们就直接可以用前缀和。
所以右边的那个就是 \(\left\lfloor\dfrac{H}{K}\right\rfloor\)，左边的就是 \(\left\lfloor\dfrac{L-1}{K}\right\rfloor\)。

然后由于 \(H-L+1\) 是 \(10^5\) 级别的，所以它们除了所有数都相同，最大的 \(\gcd\) 就是 \(10^5\) 级别，那我们就可以 \(O(n\log n)\) 容斥每个减去它的倍数的结果得到。
而且要注意一些就是因为不能全部相同，所以如果你选出来区间中有 \(x\) 个它的倍数，未容斥的方案数是 \(x^N-x\)。

然后记得最后的答案如果区间有 \(1\) 在里面要加一。

代码

#include<cstdio>
#define ll long long
#define mo 1000000007

using namespace std;

ll n, k, l, h, lim;
ll f[100001];

ll ksm(ll x, ll y) {
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = re * x % mo;
		x = x * x % mo;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

ll Ask(ll g) {
	return (ksm(h / g - l / g, n) - (h / g - l / g) + mo) % mo;
}

int main() {
	scanf("%lld %lld %lld %lld", &n, &k, &l, &h);
	
	l = (l - 1) / k; h /= k;//直接变成要 gcd=1
	f[h - l + 1] = Ask(h - l + 1);
	for (ll i = h - l; i >= 1; i--) {//容斥
		f[i] = Ask(i);
		for (ll j = i + i; j <= h - l + 1; j += i)
			f[i] = (f[i] - f[j] + mo) % mo;
	}
	
	if (l < 1) f[1] = (f[1] + 1) % mo;
	printf("%lld\n", f[1]);
	
	return 0;
}