【luogu CF1710B】Rain（差分）（性质）

Rain

题目链接：luogu CF1710B

题目大意

给你若干个函数，每个函数是一个 45 度往上线段和往下线段接在一起，两个长度一样，y 轴从 0 出发的。
然后对于每个函数，求把它以外的所有函数求和，得到的函数是否有一个位置大于 m。

思路

首先一个重要性质是你把一个函数的两边和中间找出来，函数的最大值只可能出现在这些位置。
因为两个之间可以表示成一次函数。

然后可以通过差分得到每个位置的值，然后把大于 $m$ 的找出来。
发现才删掉一个，考虑怎样才能满足条件，自然就是要把大于 $m$ 的都减回去：
$a_i-p_j+|x_i-x_j|\leqslant m$
然后展开一下：

$l_i\leqslant p_j-x_j+m$
$r_i\leqslant p_j+x_j+m$
（这里 $l_i,r_i$ 是区间左右边界，一样的道理）

然后判断一下即可（维护 $l_i,r_i$ 的最大值）

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long

using namespace std;

const int N = 2e5 + 100;
struct node {
	ll l, mid, r, x, p;
}a[N];
int n;
ll cf[N * 3], val[N * 3], m, b[N * 3];
ll L, R;

void slove() {
	scanf("%d %lld", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ll x, y; scanf("%lld %lld", &x, &y);
		a[i].x = x; a[i].p = y;
		a[i].l = x - y + 1; b[++b[0]] = a[i].l;
		a[i].mid = x + 1; b[++b[0]] = a[i].mid;
		a[i].r = x + y + 1; b[++b[0]] = a[i].r;
	}
	sort(b + 1, b + b[0] + 1); b[0] = unique(b + 1, b + b[0] + 1) - b - 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		a[i].l = lower_bound(b + 1, b + b[0] + 1, a[i].l) - b;
		a[i].mid = lower_bound(b + 1, b + b[0] + 1, a[i].mid) - b;
		a[i].r = lower_bound(b + 1, b + b[0] + 1, a[i].r) - b;
		cf[a[i].l]++; cf[a[i].mid] -= 2; cf[a[i].r]++;
	}
	for (int i = 1; i <= b[0]; i++) cf[i] += cf[i - 1];
	
	L = -1e18; R = -1e18;
	for (int i = 1; i <= b[0]; i++) {
		val[i] = val[i - 1] + cf[i - 1] * (b[i] - b[i - 1]);
		if (val[i] > m) {
			L = max(L, val[i] - b[i] + 1);
			R = max(R, val[i] + b[i] - 1);
		}
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (L <= m + a[i].p - a[i].x && R <= m + a[i].p + a[i].x) putchar('1');
			else putchar('0');
	putchar('\n');
	
	for (int i = 1; i <= b[0]; i++) cf[i] = 0, val[i] = 0; b[0] = 0;
}

int main() {
	int T; scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		slove();
	}
	
	return 0;
}